阶乘与伽马函数浅谈
阶乘与伽马函数浅谈
阶乘与伽马函数是数学中重要的概念，它们在组合数学、概率论、物理学等领域有着广泛的应用。本文将从阶乘的定义出发，逐步介绍双阶乘，并最终引出伽马函数这一广义阶乘函数，带领读者领略数学之美。
一、新朋友——阶乘
(1)认识一下
阶乘是基斯顿·卡曼于1808年发明的运算符号，指从1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的数。符号语言如下：
$$
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1
$$
特别的，规定 $0! = 1$。
由上面的式子可以看出，$n$ 的取值范围是全体自然数，例如：
$$
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
$$
(2)稍加扩充
如果仍按(1)中的定义，那么阶乘的可使用范围就显得有些狭小。下面将阶乘的范围扩充：
$$
n! = \begin{cases}
n \times (n-1)! & \text{if } n > 0 \
1 & \text{if } n = 0
\end{cases}
$$
这样一来，$n$ 的范围就由自然数扩充到了全体整数。
(3)双阶乘
我们接着引入双阶乘：当 $m$ 是自然数时，表示不超过 $m$ 且与 $m$ 有相同奇偶性的所有正整数的乘积；当 $m$ 是负奇数时，表示绝对值不超过它的绝对值的所有负奇数的绝对值积的倒数。用符号表示为：
$$
m!! = \begin{cases}
m \times (m-2) \times (m-4) \times \cdots & \text{if } m > 0 \
1 & \text{if } m = 0 \text{ or } m = -1 \
\frac{1}{|m| \times |m-2| \times |m-4| \times \cdots} & \text{if } m < 0 \text{ and } m \text{ is odd}
\end{cases}
$$
举几个例子：
$$
5!! = 5 \times 3 \times 1 = 15 \
(-5)!! = \frac{1}{5 \times 3 \times 1} = \frac{1}{15}
$$
另外，有重要等式：
$$
(2n)!! = 2^n \cdot n! \
(2n-1)!! = \frac{(2n)!}{2^n \cdot n!}
$$
二、阶乘函数
阶乘函数其实并不是很常用，更常用的是(三)中的那个可怕的家伙。这里只给出函数 $f(x) = x!$ 在 $x \in \mathbb{N}$ 时的图像：
三、广义阶乘函数——伽马函数
如果你感到不解,很正常,我或许比所有人都迷糊,闭上眼,让思绪飞一会——
但如果你觉得头脑仍然清晰无比,很好,那就让我们领略真正的数学——伽马函数(前方高能).
前面提到的阶乘函数的定义域都仅限于整数,甚至连有理数都无法涉足.这个伽马函数(又称欧拉第二积分)一下子把阶乘函数的定义域扩展到了全体实数.这个函数是用一个反常积分式定义的,不是初等函数.伽马函数也可继续扩展到复数范围内,这里我们只浅浅地见识一下实数范围内的(无论什么范围都将我搞得无所适从).
1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列
,
,
,
.....可以用通项公式
自然的表达，即便
为实数的时候，也可以找到一条平滑的曲线
通过所有的整数点(
,
),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列
,
,
,
,
,...,可以计算
,
,是否可以计算
呢？把最初的一些(
,
)的点画在坐标轴上，确实可以看到，可以画出一条通过这些点的平滑曲线.
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教伯努利，由于欧拉当时和伯努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729年完美地解决了这个问题，由此导致了伽玛函数的诞生，当时欧拉只有22岁。（年少有为啊！）
一起来欣赏它的表达式：
$$
\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt
$$
顺便看看它的图像：
怎么样，是不是看上去就有一种对数学的敬畏之情？
最后给出几个伽马函数的性质：
- $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$
- $\Gamma(1) = 1$
- $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$
- $\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}$