线性代数：高维投影的一些应用

线性代数：高维投影的一些应用

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/Nh_code/article/details/143993362

在线性代数中，当我们处理实际应用中的线性系统Ax=b求解问题时，经常会遇到矩阵A的行数大于列数的情况。这意味着方程的数量远远超过未知数的数量，由于数据偏差，方程之间容易出现矛盾，因此真实情况建立的线性系统Ax=b大概率是无解的。

但是，在很多情况下，我们并不需要一个十分精确的解，而只需一个接近解也足够用于研究。在这种情况下，我们可以将问题转化为在矩阵A的列空间中找到一个离b最近的向量b'，转而求解线性系统Ax=b'的解来近似Ax=b的解。

具体来说，我们可以通过以下步骤求解：

1. 使用Gram-Schmidt过程求出矩阵A的列空间的一组正交基。
2. 求出向量b分别到这组正交基各个分量的投影（一维投影问题）。
3. 将这些投影分量加和在一起，得到向量b在矩阵A的列空间的投影b'。

这个投影向量b'是矩阵A的列空间中与向量b夹角最小的向量，也即方向上最接近的向量。通过求解Ax=b'，我们可以得到原问题Ax=b的一个近似解。