方差和标准差的计算公式及定义
方差和标准差的计算公式及定义
方差和标准差是统计学中衡量数据离散程度的两个重要指标。本文将详细介绍方差和标准差的计算公式及其定义，并通过一个具体例题帮助读者更好地理解这两个概念。
方差的计算公式和定义
设有$n$个数据$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$，各数据与它们的平均数$\overline{x}$的差的平方分别是$(x_1-\overline{x})^2$，$(x_2-\overline{x})^2$，$\cdots$，$(x_n-\overline{x})^2$，我们用这些值的平均数，即用$\frac{1}{n}［(x_1-\overline{x})^2+$$(x_2-\overline{x})^2+$$\cdots+$$(x_n-\overline{x})^2］$来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作$s^2$。
标准差的计算公式和定义
标准差公式是一种数学公式。标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差。
样本标准差是方差的算术平方根，其计算公式为：
$$
s=\sqrt{\frac{1}{n}［(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2］}
$$
标准差和方差描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动情况。标准差和方差越大，说明这组数据的波动性越大，即离散程度越大；标准差和方差越小，说明这组数据的波动性越小，即离散程度越小。
方差计算公式的应用例题
若样本$x_1$，$x_2$，$x_3$，$\cdots$，$x_n$的平均数为10，方差为4，则对于样本$x_1-3$，$x_2-3$，$x_3-3$，$\cdots$，$x_n-3$，下列结论正确的是：
A. 平均数为10，方差为2
B. 众数不变，方差为4
C. 平均数为7，方差为4
D. 中位数变小，方差不变
答案：C
解析：样本$x_1-3$，$x_2-3$，$x_3-3$，$\cdots$，$x_n-3$，对于样本$x_1$，$x_2$，$x_3$，$\cdots$，$x_n$来说，每个数据均在原来的基础上减少3，根据平均数、方差的变化规律得：平均数减少3，而方差不变，即：平均数为$10-3=7$，方差为4，故选C。