求函数定义域的方法和例题详解

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@小白创作中心

求函数定义域的方法和例题详解

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来源

https://www.itmsc.cn/biancheng/91452.html

函数定义域是函数学习中的重要概念，它反映了函数输入值的范围。本文将详细介绍求解函数定义域的方法，并通过具体例题帮助读者加深理解。

函数定义域的基本概念

函数的定义域是指能使函数表达式有意义的一系列自变量（通常是x）的集合。在求解函数定义域时，我们需要关注函数表达式中的各种运算符和限制条件，比如除数不能为零、根号下的数不能小于零等。

求解函数定义域的方法

观察法：当给定函数表达式时，直接观察其形式以找出可能影响定义域的因素。

对于函数 ( f(x) = \sqrt{x-3} + \frac{1}{x+2} )，我们需要确保根号内的值非负且分母不等于零，这要求 ( x - 3 \geq 0 ) 和 ( x + 2 \neq 0 )，从而得出定义域为 ( x \geq 3 ) 且 ( x \neq -2 )。

代数方法：对于一些较为复杂的函数，可以利用代数技巧化简或转化成易于分析的形式。

考虑函数 ( g(x) = \log(|x^2 - 4|) )，为了确定其定义域，首先注意到对数函数的真数必须大于零，我们需要求解 ( |x^2 - 4| > 0 )，解这个绝对值不等式得到 ( x^2 - 4 > 0 ) 或 ( x^2 - 4 < 0 )，进一步化简可得 ( x < -2 ) 或 ( x > 2 ) 或 ( -2 < x < 2 )，最终的定义域是 ( x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty) )。

图像法：通过绘制函数图像，直观地找出满足条件的点集。

对于二次根式函数 ( h(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6} )，可以通过求导数分析其单调性和极值点，进而确定函数图像的开口方向及与坐标轴的交点位置，从而推断出定义域。在这个例子中，二次项的判别式 ( b^2 - 4ac = 25 - 24 = 1 > 0 )，说明二次多项式有两个实根，进一步分析可知 ( h(x) ) 在 ( x = 2 ) 时取得最小值 ( \sqrt{2} )，并且随着 ( x ) 的增加或减少，函数值逐渐增大，定义域应包含所有使得 ( x^2 - 5x + 6 \geq 0 ) 的 ( x ) 值，即 ( x \in (-\infty, 2] \cup [3, +\infty) )。