等参单元的雅可比矩阵行列式与单元面积的关系
等参单元的雅可比矩阵行列式与单元面积的关系
本文将探讨等参单元中的雅可比矩阵行列式与单元面积的关系。通过坐标系转换和面积微元转换的详细推导，揭示了雅可比行列式在有限元分析中的重要作用。
在向量分析中，雅可比矩阵（也称作Jacobi矩阵）是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。在有限元的世界里，雅可比矩阵多出现于等参变换的过程中。
坐标系转换
等参单元的自然坐标系与物理坐标系的变换关系如图所示：
左侧为等参单元在自然坐标系下的表示，为一个规则的正方形单元，边长为2；右侧为物理坐标系下的任意形状四边形单元。两者坐标系通过特殊的变换，即可由其中一个坐标系代表另一个坐标系。
雅可比矩阵可表示为：
$$
\boldsymbol{J}^e=\begin{bmatrix}
x_{,\xi} & y_{,\xi} \
x_{,\eta} & y_{,\eta}
\end{bmatrix}
$$
形函数对两个坐标系坐标的偏导，可由雅可比矩阵进行转换。
面积微元转换
对于单元的面积：自然坐标系下的等参单元的微元面积可表示为 $dS$：
$$
dS = \boldsymbol{k}\cdot (d\xi \times d \eta)
$$
在这里补充一个数学知识：两个向量叉乘数值等于与两向量共线的平行四边形的面积。
物理坐标系下的 $\xi$、$\eta$ 方向可表示为 $d\boldsymbol{r}{\eta}$、$d\boldsymbol{r}{\eta}$，两方向的向量可表示为：
$$
\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{\xi}=\frac{\partial x}{\partial\xi}\mathrm{d}\xi\boldsymbol{i}+\frac{\partial y}{\partial\xi}\mathrm{d}\xi\boldsymbol{j}
$$
$$
\mathrm{d}\boldsymbol{r}_{\eta}=\frac{\partial x}{\partial\eta}\mathrm{d}\eta\boldsymbol{i}+\frac{\partial y}{\partial\eta}\mathrm{d}\eta\boldsymbol{j}
$$
单元面积进而可以表示为：
$$
\mathrm{d}S=\boldsymbol{k}\cdot(\mathrm{d}\boldsymbol{r}{\xi}\times\mathrm{d}\boldsymbol{r}{\eta})=|\boldsymbol{J}|\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta
$$
雅可比行列式就此登场！
比如，常应变单元中的单元面积可在三节点等参单元区域内进行二重积分求解：
$$
S,,=\iint\limits_S{|\boldsymbol{J}|\mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta}=\frac{|\boldsymbol{J}|}{2}
$$
对于等参四边形单元：
$$
S,,=\iint\limits_S{|\boldsymbol{J}|\mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta}=4|\boldsymbol{J}|
$$
对于等参六面体单元：
$$
S,,=\iiint\limits_V{|\boldsymbol{J}|\mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta d\gamma}=8|\boldsymbol{J}|
$$
通过上述变换，公式左侧为物理坐标系下的单元面积，1/2、4、8均为相应等参单元的面积、体积，两者通过雅可比行列式相连接。
以上观点参考了张雄老师的《有限元法基础》。
本文原文来自CSDN博客