一文理解PID控制原理
一文理解PID控制原理
PID控制是工程领域使用最广泛的控制算法之一，从温度、气压、流量控制到电机控制等各个领域都有其身影。本文将从PID的基本概念出发，详细讲解其原理，并推导出完整的PID公式及其离散化形式，帮助读者深入理解这一重要的控制理论。
PID概念
PID算法是将偏差的比例（Proportion）、积分（Integral）和微分（Differential）通过线性组合构成控制量，用这一控制量对被控对象进行控制，这样的控制器称PID控制器。
2.1 偏差的概念
假设我们目前有一个需求，要把水烧到50±1℃。在这个系统中，我们的控制对象就是水温，我们的PID执行机构就是加热器，我们可以通过加热器的电流大小来控制加热快慢，即PID的输出量（output）即为电流大小。那我们要把水加热到指定的温度，我们必须还得有一个温度传感器，来获取实时水温。我们想要的水温的期望值是50±1℃，这个期望值我们叫做设定值（setpoint），温度传感器返回的实时温度值我们叫做反馈值（feedbackVal），那么所谓的偏差（error）就是反馈值偏离设定值的大小，即为error = setpoint - feedbackVal。
2.2 PID比例项
什么是偏差的比例？
通常情况下，我们加热，都会采用恒定的电流加热，等水温达到设定值后，立即断电，水温低于设定值后，又立即启动加热，以此循环往复，这样进行控制（这种控制方式在工程上叫做乒乓控制）。对控制精度要求不高的场合，这样的控制方式完全够用，但如果控制精度比较高的情况下，水温要么就过了，要么达不到。这是因为大多数控制对象都有惯性，在惯性作用下，无法通过这种方式进行完美的控制。比如，我们的加热器，断电之后，它还有余热可以继续对水进行加热。比如电机，停止之后，由于惯性，它还会继续旋转。比如，关闭阀门，下达关闭指令后，它需要一定的时间才能完全关闭。
另外很多场合，我们的控制对象还受其他的因素的影响。比如，加热水，水在加热的同时，也在散热，而这个散热在夏天和冬天完全不一样，所以在冬天和夏天，将同样的水加热升温一定的温度所需要的功耗完全不一样。散热的这个因素也在影响着我们的水温。又比如，往水缸里注水，我们需要控制水缸的水位，但是同时这个水缸也在放水，那这个放水量就会影响水缸的水位。
那有没有一种方法可以在惯性以及其他因素的影响下，能够精确的控制呢？有的，方法肯定有很多，PID就是其中一种。PID的比例项是这样的。我们先求出偏差(error)，根据偏差(error)的概念我们知道，如果反馈值偏离实际值很大，则偏差(error)也很大，如果反馈值距离实际值很小，则偏差(error)也很小。而我们控制一个对象，最理想的控制方式也是这样的，如果反馈值与设定值相差很大（即偏差(error)很大），我们可以输出(output)全功率，随着偏差(error)减小，我们也可以减少输出（output）功率，直到偏差（error）为0，我们的输出功率也为0。我们发现偏差的变化趋势和理想的控制方式是一样的。那我们使用偏差的概念来进行PID控制是非常完美的。
我们可以直接把偏差作为output来控制执行机构，是很理想的情况，但是一般情况下，偏差的单位和输出值的单位不一致。比如我们控制水温时，偏差的单位是摄氏度，而我们的输出值的单位是电流的单位A，这两个数往往不在一个数量级。所以我们直接将偏差作为输出值，进行控制不合适。为了能够通过偏差值对电流进行控制，我们在偏差值上乘以一个系数，这样我们就可以得到一个合理的值。我们把偏差乘以系数的这个项叫做比例项(proportion)，即:
$$
proportion = Kp * error
$$
其中：
$$
error = output - setpoint
$$
用一个式子表示就是：
$$
proportion = Kp * (output - setpoint)
$$
上式中，Kp就是我们引入的偏差所乘的比例，我们一般称之为比例常数。那一般怎么选择Kp呢，这个就需要我们在实际中不断的去试，而这个找合适的Kp的过程，我们就叫做手动PID整定。PID整定是PID控制中最难的部分，需要不断的积累经验，才能快速的找到合适的Kp值。
2.3 积分项
怎么解决稳态误差？
所谓稳态误差，就是反馈值和设定值之间总是存在一定的偏差。解决稳态误差的办法就是对偏差进行积分(intergration)。
如上图所示，图中的曲线是偏差值(error = feedbackVal - setpoint)，则偏差的积分（intergration）就是图中阴影部分的面积。我们从图中看到，面积的大小和两个变量有关:偏差大小和时间长久，只要偏差不为0，则积分（intergration）随着时间的增加也会一直增加下去。所以偏差更多的是影响积分（intergration）的速率，偏差大，则积分（intergration）增加的快，偏差小则积分（intergration）增加的慢。所以只要偏差存在，则在时间的加持下，最终我们的输出值就会越来越大，最终会消除存在的稳态误差。
PID积分项（intergration）我们表示如下：
$$
intergration = \int_0^t{d(error(t))dt}
$$
PID控制程序是周期性执行的，执行的周期称为采样周期（Ts）。上图中曲线为连续的实际的偏差值，但是我们通过计算机采集到的反馈值是离散的。我们一般都是每隔一个固定的时间去采集一个反馈值，并进行偏差计算，这个固定的时间间隔就是采样周期。就是上图中长方形的宽Ts了。每次PID运算时，偏差的积分就是在上一次积分的基础上，增加一个偏差（error）与采样周期(Ts)的乘积，即会增加一个图中的长方形的面积。偏差为正时，积分的增量为正，偏差为负时，积分的增量为负。
我们知道，偏差的积分的单位是时间单位和偏差单位的乘积，它的单位和比例项的单位不一样，为了单位换算一致，那我们一般需要给积分项除以一个时间系数，这个时间系数叫做积分时间常数，一般用Ti表示。引入积分时间常数后，积分项公式变为：
$$
intergration = {1\over{Ti}}\int_0^t{d(error)dt}
$$
那怎么求这个Ti的值呢，方法也是一样，需要通过整定求得，本篇文章我们不涉及整定，后面会专门讲解自整定。
引入积分项后，PID公式就变成了比例项和积分项的和。PID公式变为如下：
$$
output(t) = Kp * (error(t) + {1\over{Ti}}\int_0^t{d(error)dt})
$$
其中：
$$
error = output - setpoint
$$
上式中，我们看到，比例常数不仅作用到比例项上，还作用到积分项上，为什么要这么做呢？它和作用在比例系数上的作用一样，在Kp和Ti共同的作用下，将输出值（output）转化为合理的执行单元（执行输出值的器件或设备）可执行的的范围内的值。
上图为纯比例作用下的PID控制展示。
2.4 微分项
我们已经得到比例项和积分项组成的PID公式了，那这样PID公式是不是完美了呢？我们还没有讲解PID中的D，所以这个公式并不完美，它还是有缺陷的。但是在一般情况下，其实有了P和I也就够了，在P和I的作用下，一般都能达到我们想要的平衡值。
虽然只有PI作用，也可以使系统稳定，但是往往有一些副作用。比如系统响应变化过快，系统不稳定，比如在快要达到目标值阶段，往往会出现超调现象（反馈值达到目标值，并超过目标值，然后再慢慢返回来，在目标值周围振荡若干次，才逐渐平稳）。而我们加入微分项后，就可以来改善这种情况。
微分公式如下：
$$
differential = {derror(t)\over{dt}}
$$
error(t)表示t时刻的偏差，即setpoint – feedbackVal。所以上述公式我们就可以看成是单位时间内偏差的变化，即偏差变化率。
如上图，绿色线为设定值，红色线为实时反馈值，则图中的蓝色线可表示偏差值，从图中可以看出来，随着反馈值不断的接近设定值，蓝色线越来越短，即偏差越来越小。偏差的微分对图中来说，就是右边的蓝色线减去左边的蓝色线，所以其值是负的。
那我们总结一下上述现象，就是偏差减小的过程中，微分值永远是负的，偏差增大的过程中，微分值永远是正的。偏差变化越快，此时红色的线越陡，则偏差的微分的绝对值越大。
从上述描述中，我们不难看到，微分在起一个阻力作用。上图中，偏差在减小的过程中，比例项和积分项是正的，但是微分是负的，它在阻碍偏差的减小，偏差变化越快的时候，微分的值越大，阻碍作用越大。
上图是，偏差增大的过程中，上图中比例项和微分是负的，但微分项刚好是正的。所以由此可以看出，微分项的符号和比例项与积分项的符号是反的，它始终起一个阻力的作用。
就像这个弹簧一样，不管你把它拉的多长，它最终会在阻尼作用下，停止运动，即达到平衡。
微分的单位是偏差值的单位/时间单位，所以为了能够将微分项的单位与比例项和积分项单位统一，微分项还包含一个微分时间常数Td。我们在微分项上乘以这个微分时间常数后，单位统一，则乘以微分时间常数Td以后微分项公式如下：
$$
differential = Td{derror(t)\over{dt}}
$$
微分项对噪声特别敏感，如传感器反馈信号中有噪声或控制循环速率太低，微分项会使控制变的不稳定。噪声信号意味着反馈值突变，突变值的为微分值非常大，理论上可达到无穷大，所有其对噪声特别敏感。
上图表示微分作用。
2.5 最终的PID公式
经过上述讲解，我们已经清楚了PID公式，下面我们把最终的PID公式表示出来：
$$
output(t) = Kp[error(t) + {1\over{Ti}}\int_0^t{d(error(t))dt} + Td{derror(t)\over{dt}}]
$$
上式中，output(t) 表示t时刻的PID输出值，error(t)表示t时刻的偏差，即：t时刻的设定值setpoint与反馈值feedbackVal的差值。
$$
error(t) = setpoint(t) - feedbackVal(t)
$$
3、PID公式简化
我们观察以上公式，发现Kp作用在比例、积分、微分每一项上，如果我们需要手动整定PID的话，对于积分项和微分项来说，各有两个未知量需要求解。所以为了手动整定方便，一般需要对上式进行化简。 令:
$$
K_i = K_p*{{1}\over{T_i}} ，K_d= K_p*T_d
$$
则可得到如下公式：
$$
output(t) = Kp*error(t) + K_i\int_0^t{d(error(t))dt} + K_d{derror(t)\over{dt}}
$$
上式中，比例、积分和微分项相互独立，过上式手动整定PID就比较方便。
4、PID公式离散化
我们得到的PID公式是连续的，但在计算机的处理中，无法处理连续的函数，我们对其进行离散化。
4.1、采集时间
假设，我们有一个控制系统，以固定的时间间隔通过传感器获取实时反馈值。这个时间间隔我们称之为采集时间，一般设为Ts。我们获取一次实时反馈值，计算一次偏差，然后通过偏差进行一次PID控制，所以PID的控制时间也等于采集时间。 假设k为采样序号，K = 0，1，2，3，4，5...
第一次采样，则k=1，
第二次采样，则k=2，
第三次采样，则k=3，
第四次采样，则k=4，
第五次采样，则k=3，
.
.
.
第n-1才采样，k = n-1
第n次采样，则k= n，
第n+1次采样，则k= n+1，
.
.
.
4.2、求偏差
假设，第k次采样，实时反馈值为feedbackVal(k)，设置值为setpoint(k)，则偏差就可以表示为：
$$
error(k) = setpoint(k) - feedbackVal(k)
$$
4.3、积分离散化
如上图中，长方形的宽为采样时间Ts，假设每个采集时刻计算处的偏差值为error(k)，即为长方形的长。那么积分就是各个长方形面积的和。 用公式表示就是：
$$
error(0)*T_t + error(1)*T_t + error(2)*T_t + error(3)*T_t +
... +error(k-1)*T_t + error(k)*T_t + +error(k+1)*T_t + ...
$$
我们对上式进行化简，则可表示为：
$$
T_t [error(0) + error(1) + error(2) + error(3) +
... +error(k-1) + error(k) + error(k+1)+...]
$$
我们继续使用求和公式来表述上述公式，则可以写为：
$$
T_t\sum_{i=0}^kerror(i)
$$
4.4、微分离散化
假设第k次求得的偏差为error(k)，第k-1次求得的偏差为error(k-1)，如上图中的曲线和长方形长交叉点的Y轴的值，即为各个采集点的偏差值。那么微分就相当于两个交叉点处Y轴的值的差除以采集时间Ts，就是偏差曲线的斜率。 用公式表示就是：
$$
[error(k) - error(k-1)]/T_t
$$
4.5、PID公式离散化
综上所述，我们把比例、积分和微分组合起来就可以得到离散化后的PID公式如下：
$$
output(k) = k_p [error(k) + {T_t\sum_{i=0}^kerror(i)\over{T_i}} + {Td{[error(k) - error(k-1)]}\over{T_t}}]
$$
上式为公式（11）的离散化表示。
$$
output(k) = K_perror(k) + Ki{T_t\sum_{i=0}^kerror(i)} + K_d*{{[error(k) - error(k-1)]}\over{T_t}}
$$
上式为公式14的离散化表示。