数列和函数极限的全面解析
数列和函数极限的全面解析
什么是数列
数列就是按照一定顺序排列的数字，也可以理解为包含数字元素的队列。数列的格式可以表示为：
$$
a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \quad (n \in \mathbb{N})
$$
或者
$$
{ a_n } \quad (n \in \mathbb{N})
$$
其中，$a_n$叫做通项。
数列的数学式表示方法
例如，对于数列
$$
1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{n} \quad (n \in \mathbb{N})
$$
可以表示为
$$
\left{ \frac{1}{n} \right}_{n=1}^{\infty}
$$
其中下标$n=1$表示$n$从1开始，上标$\infty$表示数列的长度是无限。
或者
$$
{ a_n \mid a_n = \frac{1}{n} } \quad (n \in \mathbb{N})
$$
第一种表示方法会更常用。
数列的收敛和发散
对于数列${ a_n }$，如果当$n$趋向于无穷大时，$a_n$(数列中最右的项)的值趋向于一个常数$C$，那么我们认为这个数列是收敛的。否则，我们认为这个数列是发散的。
记作
$$
\lim_{n \to \infty} a_n = C
$$
其中$\lim$表示limit，极限的意思。
或者也可以记作
$$
a_n \to C \quad (n \to \infty)
$$
例子
- 数列$\left{ \frac{1}{n} \right}_{n=1}^{\infty}$的极限
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
$$
- 数列$\left{ \frac{n}{n+1} \right}_{n=1}^{\infty}$的极限
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1
$$
- 数列$\left{ 2^n \right}_{n=1}^{\infty}$没有收敛的极限，它是发散的。
值得注意的是，数列$\left{ \frac{n^2}{n+1} \right}_{n=1}^{\infty}$的极限
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n+1} = n
$$
看起来收敛于$n$，但是$n$并不是一个常数，所以它和自然数列$\left{ n \right}_{n=1}^{\infty}$一样是发散的，并不是收敛。
双向数列
上面的数列都是单向数列，即有一个明显的起点($n$从1到$\infty$)。但是有些数列的下标是从$-\infty$到$\infty$的，我们认为这种数列为双向数列。例如：
$$
\left{ 2^n \right}_{n=-\infty}^{\infty}
$$
注意，这里的$-\infty$并不是无穷小，它是负无穷大！
极限的符号表示
例如：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
$$
这里的$n \to \infty$并不是$n$到正无穷大的意思，而是$n$到正无穷大和负无穷大，因为它的数列可能是双向数列，无论$n$是正无穷大和负无穷大，数列$\left{ \frac{1}{n} \right}_{n=-\infty}^{\infty}$都收敛于0。
所以：
- $n \to \infty$意思是当$|n|$趋向于无穷大时，也就是正无穷大或负无穷大。
- $n \to +\infty$意思是$n$趋向于正无穷大。
- $n \to -\infty$意思是$n$趋向于负无穷大。
- $n \to x$表示$n$从左右两侧无限接近$x$。
- $n \to x^-$表示$n$从左侧无限接近$x$。
- $n \to x^+$表示$n$从右侧无限接近$x$。
例子
- $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$
这个函数只有在右向有极限。
- $\lim_{x \to \infty} x^{-1} = 0, \quad x \in \mathbb{R} \cap x \neq 0$
这个函数就相当于上面提到的$\left{ \frac{1}{n} \right}$数列，但是其实它在两个方向都有极限的，而且两个方向都是0。
- $\lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\frac{\pi}{2}$
- $\lim_{x \to +\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}$
这个例子，$\arctan(x)$反正切函数，它在两个方向都有极限，但是两个方向的极限值是不同的。
$x$趋向于某个值的极限
上面的例子，列出的极限值都是基于$x$趋向于正无穷大或负无穷大的。但是在函数中，也有$x$趋向于某个具体值的函数极限值。
例子1
假如函数$f(x) = x^2$在某个$x$值$x_0$附近里有定义。那么
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
$$
（函数在某段区间是否连续的定义）
例子2
对于函数
$$
f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}, \quad x \neq 1
$$
可以看出这个函数与$f(x) = x + 1$很类似，只在$x=1$时没有定义，但是它在$x_0 = 1$是有极限的
$$
\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+1)\cancel{(x-1)}}{\cancel{x-1}} = \lim_{x \to 1} x+1 = 2
$$
$x$从某个方向趋向于某个值的极限
假如函数$f(x)$在$x_0$的右半领域有定义$(x_0, x_0 + \delta)$，或者$f(x)$在$x_0$的左半领域有定义$(x_0 - \delta, x_0)$，那么我们可以用
- $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$表示$x$从$x_0$左侧接近$x_0$的极限
- $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$表示$x$从$x_0$右侧接近$x_0$的极限
注意，在某些分段函数中
$$
\lim_{x \to x_0^-} f(x) \quad \text{和} \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x)
$$
不一定相等。
而且
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = A
$$
的充要条件是
$$
\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A
$$