考研高数必备：基本初等函数详解

考研高数必备：基本初等函数详解

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_68812536/article/details/138703776

基本初等函数是高等数学中的重要概念，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。本文将详细介绍这些函数的定义、性质和图像特征，帮助读者更好地理解和掌握这些基本初等函数。

幂函数

幂函数的一般形式为 (y = x^u)，其中 (u) 是常数。

• 定义域和值域取决于 (u) 的取值。
• 当 (x > 0) 时，所有幂函数都有定义。
• 幂函数前无系数，即系数必须为 1。如果给定一个函数是幂函数，可以通过系数为 1 来计算系数表达式中未知变量的值。

指数函数

指数函数的一般形式为 (y = a^x)，其中 (a > 0) 且 (a \neq 1)。

• 定义域：((-∞, +∞))；值域：((0, +∞))。
• 单调性：当 (a > 1) 时，函数单调增加；当 (0 < a < 1) 时，函数单调减少。
• 当 (a = 1) 时，其函数图像与指数为 0 的幂函数一样。

对数函数

对数函数的一般形式为 (y = \log_a x)，其中 (a > 0) 且 (a \neq 1)。

• 定义域：((0, +∞))；值域：((-∞, +∞))。
• 单调性：当 (a > 1) 时，函数单调增加；当 (0 < a < 1) 时，函数单调减少。

三角函数

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

正弦函数 (y = \sin x)

• 定义域：(x \in \mathbb{R})（全体实数）
• 值域：(y \in [-1, 1])
• 奇偶性：奇函数（(\sin(-x) = -\sin x)）
• 周期性：(T = 2\pi)
• 有界性：有界（(|y| \leq 1)）

余弦函数 (y = \cos x)

• 定义域：(x \in \mathbb{R})（全体实数）
• 值域：(y \in [-1, 1])
• 奇偶性：偶函数（(\cos(-x) = \cos x)）
• 周期性：(T = 2\pi)
• 有界性：有界（(|y| \leq 1)）

正切函数 (y = \tan x)

• 定义域：(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z})（(x) 不能取 (\frac{\pi}{2}) 的整数倍）
• 值域：(y \in \mathbb{R})（全体实数）
• 奇偶性：奇函数（(\tan(-x) = -\tan x)）
• 周期性：(T = \pi)
• 有界性：无界（(y) 可以取任意实数）

余切函数 (y = \cot x)

• 定义域：(x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z})（(x) 不能取整数倍的 (\pi)）
• 值域：(y \in \mathbb{R})（全体实数）
• 奇偶性：奇函数（(\cot(-x) = -\cot x)）
• 周期性：(T = \pi)
• 有界性：无界（(y) 可以取任意实数）

正割函数 (y = \sec x)

• 定义域：(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z})（(x) 不能取 (\frac{\pi}{2}) 的整数倍）
• 值域：(y \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty))
• 奇偶性：偶函数（(\sec(-x) = \sec x)）
• 周期性：(T = 2\pi)
• 有界性：无界（但值域被限制在 ((-∞, -1] \cup [1, +∞))）

余割函数 (y = \csc x)

• 定义域：(x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z})（(x) 不能取整数倍的 (\pi)）
• 值域：(y \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty))
• 奇偶性：奇函数（(\csc(-x) = -\csc x)）
• 周期性：(T = 2\pi)
• 有界性：无界（但值域被限制在 ((-∞, -1] \cup [1, +∞))）

反三角函数

反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数。

反正弦函数 (y = \arcsin x)

• 定义域：(x \in [-1, 1])
• 值域：(y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}])
• 奇偶性：奇函数（(\arcsin(-x) = -\arcsin x)）
• 周期性：非周期函数
• 有界性：有界（(|y| \leq \frac{\pi}{2})）
• 性质：(\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2})，(x \in [-1, 1])

反余弦函数 (y = \arccos x)

• 定义域：(x \in [-1, 1])
• 值域：(y \in [0, \pi])
• 奇偶性：非奇非偶函数（(\arccos(-x) \neq \pm \arccos x)）
• 周期性：非周期函数
• 有界性：有界（(0 \leq y \leq \pi)）

反正切函数 (y = \arctan x)

• 定义域：(x \in \mathbb{R})（全体实数）
• 值域：(y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}))
• 奇偶性：奇函数（(\arctan(-x) = -\arctan x)）
• 周期性：非周期函数
• 有界性：有界（(|y| < \frac{\pi}{2})）
• 性质：(\arctan x + \arccot x = \frac{\pi}{2})

反余切函数 (y = \arccot x)

• 定义域：(x \in \mathbb{R})（全体实数）
• 值域：(y \in (0, \pi))（注意：有些定义可能包括端点）
• 奇偶性：非奇非偶函数（(\arccot(-x) \neq \pm \arccot x)）
• 周期性：非周期函数
• 有界性：有界（(0 < y < \pi)）

注：反余切函数（(\arccot)）的定义可能因不同的数学软件或教材而异。