一道数学题背后的平方差公式：从图形变化到代数原理

一道数学题背后的平方差公式：从图形变化到代数原理

一道看似简单的图形变化题目，却蕴含着深刻的数学原理。本文通过分析学生在解题过程中遇到的困难，提供了多种解题方法，并探讨了这道题目与中学阶段将要学习的平方差公式之间的联系，强调了数形结合和动手操作在数学学习中的重要性。

首先，要引导学生把这个静态的图可视化，理解虚线图和右边实线图分别表示什么含义。另外，要理解这里的（ ）具体要填的是哪一段长度。这里，也建议编者能不能更明确地用大括号指出具体要填的线段长度。

学生还是易将上面的括号填为2.5。也就是不把问题和具体的图进行对应。这里可以从空白正方形开始，先把竖着的一条边减少0.5厘米（也就是减少虚线的长方形），再将横着的一条边增加0.5厘米（也就是右边的长方形）。所以，这里新的长方形的长为2.5+0.5=3厘米，新的长方形的宽为2.5-0.5=2厘米。

也就是这里要对图形演变的过程要放慢一点。既是便于学生理解，也为后面更为巧妙的办法做好铺垫。

对于第2个问题，学生的一般思路是这样的：

原来正方形的面积：2.5✕2.5=6.25（cm2）

新的长方形的面积：2✕3=6（cm2）

相差的面积：6.25-6=0.25（cm2）。

这种方法，即便没有图形的帮助，也是很容易思考的。

除此之外呢，还有办法吗？有学生看着图发现了新的办法，因为原来的正方形和新的长方形

之间的面积之所以是有变化的，就在于减少部分和增加部分的面积有差别（中间空白的长方形是不变的）。

减少的图形：2.5✕0.5=1.25（cm2）

增加的图形：0.5✕2=1（cm2）

相差的面积：1.25-1=0.25（cm2）

此时，有同学发现了更为简单的方法，现在的长方形和原来的正方形相比，其实就减少了一个边长为0.5厘米的正方形，也就是0.5✕0.5=0.25（cm2）。

显然，第三种方法不是那么容易理解，需要一定的空间想象能力。要想让学生更好地理解这个题目，可以引导学生自己动手实践去试试。于是，有了这样的实践作业要求，更多的同学理解了这种方法。

这样一看，把增加的长方形移到减少的那部分，再和原来的正方形面积相比，就发现它们相差的是一个边长为0.5厘米的正方形。

再来看看这个题目，原来大正方形的面积减去新的长方形的面积等于这个小的正方形面积。写成等式就是：

2.5×2.5-（2.5+0.5）×（2.5-0.5）=0.5×0.5

如果将这个大正方形的边长改为其它长度，依然进行这样一边减少0.5厘米的操作过程，结果依然是相差0.25平方厘米。也就是这里的差是个定量（它和原图形的边长无关，只和变化的长度有关。

如果这个正方形的边长为a厘米，如果也按照题目的操作，结果依然是相差0.25平方厘米。

a×a-（a+0.5）×（a-0.5）=0.5×0.5。

那如果一条边减少b厘米，另一条边增加b厘米呢？

a×a-（a+b）×（a-b）=b×b。相差的面积就是b×b平方厘米。

其实和我们以后学习的平方差公式有联系。如果把上面的式子都写成这样：

2.5×2.5-0.5×0.5=（2.5+0.5）×（2.5-0.5）

a×a-0.5×0.5=（a+0.5）×（a-0.5）

a×a-b×b=（a+b）×（a-b）

就相当于在边长为a 的正方形剪去一个边长为 b 的小正方形。这里 a×a 和 b×b 都是一个平方数，而两个平方数相减所得的差等于两个数的和与这两个数的差的乘积。这在中学会进一步学习，叫做平方差公式。

可见，这道题目中已经有了中学平方差公式的影子。其实已经看到了平方差公式的几何意义。虽然在这里并不需要有这么深的讲解，也无需学生去掌握它。

这里，通过这道题目可以引导学生借助几何直观去理解算式中每一步的含义，将数和形结合起来理解。也可以引导学生发现这里相差的0.25其实是个定量。在不断归纳的过程中，发现其中的变和不变。

另外，基于小学生的年龄特点，动手操作是解决问题的好办法。通过自己的操作理解，再借助几何直观去理解，可以激发出更有意思的答案。