傅里叶变换相关总结
傅里叶变换相关总结
傅里叶变换是信号处理领域的重要工具，它帮助我们将信号从时域转换到频域，从而更好地理解和分析信号的特性。本文将从不同类型频率的理解出发，深入探讨傅里叶变换的各种形式及其应用，包括傅里叶级数、连续傅里叶变换和离散傅里叶变换（DFT）。
不同类型频率的理解
在信号处理过程中，经常会遇到模拟频率$f$、模拟角频率$\omega$、数字频率$\Omega$等不同类型的频率，以下对它们的区别和联系进行总结：
- 模拟频率$f$：表示信号每秒钟重复的次数，单位是$\text{Hz} = 1/\text{s}$；
- 模拟角频率$\omega$：表示每秒钟转动的圈数，每一圈对应的弧度为$2\pi$，一秒钟对应的弧度为$2\pi f$，所以它的单位是$\text{rad/s}$；
- 数字频率$\Omega$：数字频率是与采样率$f_s$直接相关的，它表示相邻采样间隔内转过的弧度，所以它的单位是$\text{rad}$，显然$\Omega = 2\pi\frac{f}{f_s}$。通常情况下根据奈奎斯特采样定律有$|f| \leq f_s/2$，所以$\Omega \in [-\pi, \pi]$。
不同类型频率对应的不同傅里叶变换形式
在介绍傅里叶变换之前，需要首先了解傅里叶级数，傅里叶级数是针对周期信号的展开，具体地，设周期信号$f(t)$的周期为$T_1$，对应角频率$\omega = 2\pi/T_1$，频率$f_1 = 1/T_1$，则$f(t)$的傅里叶展开式可以表示为
$$
f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty{[a_n \cos(n\omega_1 t) + b_n \sin(n\omega_1 t)]} \tag{1}
$$
其中$a_0 = \frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}{f(t)\text{d}t}$，$a_n = \frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}{f(t) \cos(n\omega_1 t) \text{d}t}$，$b_n = \frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}{f(t) \sin(n\omega_1 t) \text{d}t}$，$(1)$式表明周期信号可以表示成一系列正弦、余弦函数的组合，这些正弦、余弦函数的频率均为原始信号频率的整数倍。$(1)$可以表示为指数形式：
$$
f(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty{F(n\omega_1) \exp(-in\omega_1 t)} \tag{2}
$$
其中，$F(n\omega_1) = \frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}{f(t)\exp{(-in\omega_1 t) \text{d}t}}$。显然通过将三角级数形式转化为指数级数形式，出现了负频率，所以负频率完全是数学运算的产物，没有实际的物理含义。同时若以信号频率为横轴，幅度为纵轴进行绘图，便得到了信号的频谱图，显然此时信号只在某些特定的频率上存在，所以信号频率将呈现离散的多条谱线，相邻谱线之间的频率间隔为$\omega_1$。只不过三角级数表示形式的信号频谱为单边谱，而指数级数形式的信号频谱表现为双边谱，需要把正负频率上对应的两条谱线幅度相加才能得到一个频率分量的幅度。利用时域信号的周期性和频域周期性频谱分布之间的对应关系，可以来解释很多雷达处理过程中遇到的现象，比如为什么DTMB信号的同频干扰不仅在距离维上存在多个副峰，在多普勒维上也会出现周期性的调制副峰，这是因为同频干扰是由时域帧头的周期性引入的，时域周期性造成了频域离散的谱线。再比如之前一直不太理解模糊函数中多普勒维副峰出现的原因，其实多普勒周期性谱峰也是由时域信号成分中的周期性成分造成的。所以这是一个在实际应该过程中分析问题的很重要的对应关系。
图1：三角级数形式的信号频谱
图2：指数级数形式的信号频谱
傅里叶级数是针对周期信号的，非周期信号可以看成周期无限大的周期信号，即此时$T_1 \rightarrow \infty$，所以此时相邻谱线之间的频率间隔$\omega_1 \rightarrow 0$，所以此时频谱由上面的离散谱变化为连续谱。此时定义如下傅里叶变换
$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \exp{(-i\omega t)\text{d}t}} \tag{3}
$$
$$
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F(\omega) \exp(i\omega t) \text{d}\omega} \tag{4}
$$
利用模拟频率$f$和角频率$\omega$之间的对应关系$\omega = 2\pi f$可以得到对应于模拟频率的傅里叶变换形式
$$
F(f) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \exp{(-i2\pi f t)\text{d}t}} \tag{5}
$$
$$
f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{F(f) \exp(i2\pi f t) \text{d}f} \tag{6}
$$
上面对应两种不同频率的不同傅里叶变换表示情况，只需要记住其中的一个，另一个通过变换就很容易得到。
离散傅里叶变换(DFT)的定义如下:
$$
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}{x[n] \exp(-i\frac{2\pi}{N}nk)} \tag{7}
$$
$$
x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \exp(i\frac{2\pi}{N}kn) \tag{8}
$$
需要特别注意，IDFT变换时前面有个系数$1/N$，在说明为什么存在这个系数之前，我们先来推导一个公式：
$$
\sum_{n=0}^{N-1} \exp(i an) = \frac{1-\exp(iNa)}{1-\exp(ia)} = \frac{\exp(iNa/2) [\exp(-iNa/2)-\exp(iNa/2)]}{\exp(ia/2) [\exp(-ia/2)-\exp(ia/2)]} = \exp[i(N-1)a/2] \frac{\sin(Na/2)}{\sin(a/2)} \tag{9}
$$
接下来进行如下运算：
$$
\sum_{m=0}^{N-1}{X[k] \exp(i\frac{2\pi}{N}km)} = \sum_{m=0}^{N-1} {\sum_{n=0}^{N-1}{x[n] \exp(-i\frac{2\pi}{N}nk)}\exp(i\frac{2\pi}{N}km)} = \sum_{n=0}^{N-1}{x[n] \sum_{k=0}^{N-1} {\exp[-i\frac{2\pi}{N}k(n-m)]}} \tag{10}
$$
根据$(9)$的结论，容易得到
$$
\sum_{m=0}^{N-1}{X[k] \exp(i\frac{2\pi}{N}km)} = \sum_{n=0}^{N-1}{x[n] \exp[-i\frac{N-1}{N}(n-m)\pi] \frac{\sin[(n-m)\pi]}{\sin[(n-m)\pi/N]}} \tag{11}
$$
令
$$
G(n,m) = \exp[-i\frac{N-1}{N}(n-m)\pi] \frac{\sin[(n-m)\pi]}{\sin[(n-m)\pi/N]} \tag{12}
$$
容易求得当$n \neq m$时，$G(n,m) = 0$，当$n = m$时，$G(n,m) = N$，所以
$$
\sum_{m=0}^{N-1}{X[k] \exp(i\frac{2\pi}{N}km)} = Nx[n] \tag{13}
$$
所以要想$\text{IFFT}(X[k]) = x[n]$，显然需要满足$(8)$，这就是$(8)$中$1/N$系数的由来。
附录在推导上述结果的时候突然对函数的理解产生了好奇，在实际应用过程中经常看到各种类型的函数，函数名不一样，输入变量不一样，那到底函数是什么，不同类型函数之间怎样进行转化，每一种类型函数实际对应的意义到底是什么，这是在下面的内容需要说明的。