高中数学立体几何知识点总结

高中数学立体几何知识点总结

立体几何是高中数学的重要组成部分，它不仅要求学生具备扎实的理论基础，还需要较强的逻辑思维能力和空间想象力。本文将系统地介绍立体几何的基本概念、结构特征、三视图和直观图的画法，以及平面的基本性质和相关公理，帮助学生全面掌握这一知识点。

柱、锥、台、球的结构特征

1. 棱柱：

• 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
• 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
• 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱
• 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

2. 棱锥

• 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
• 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
• 表示：用各顶点字母，如五棱锥
• 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

3. 棱台：

• 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
• 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
• 表示：用各顶点字母，如五棱台
• 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

4. 圆柱：

• 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
• 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

5. 圆锥：

• 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体
• 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

6. 圆台：

• 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
• 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

7. 球体：

• 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
• 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

空间几何体的三视图

• 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）
• 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
• 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
• 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

空间几何体的直观图——斜二测画法

• 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
• ②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

空间几何体结构

1. 空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。

2. 棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。

• 底面：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。底面是几边形就叫做几棱柱。
• 侧面：棱柱中除底面的各个面。
• 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
• 顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
• 棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。 如：六棱柱表示为ABCDEF-A’B’C’D’E’F’

3. 棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共定点，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.

4. 圆柱的结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。

• 圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴。
• 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。
• 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。
• 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
• 圆柱用表示它的轴的字母表示.如：圆柱O’O
• 注：棱柱与圆柱统称为柱体

5. 圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。

• 轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。
• 底面：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面。
• 侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
• 顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点
• 母线：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。
• 圆锥可以用它的轴来表示。如：圆锥SO
• 注：棱锥与圆锥统称为锥体

6. 棱台和圆台的结构特征

• (1)棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台.

• 下底面和上底面：原棱锥的底面和截面 分别叫做棱台的下底面和上底面。

• 侧面：原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面(截后剩余部分)。

• 侧棱：原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱(截后剩余部分)。

• 顶点：上底面和侧面，下底面和侧面的公共点叫做棱台的顶点。

• 棱台的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。 如：棱台ABCD-A’B’C’D’

• 底面是三角形，四边形，五边形----的棱台分别叫三棱台，四棱台，五棱台---

• (2)圆台的结构特征：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台.

• 圆台的轴，底面，侧面，母线与圆锥相似

• 注：棱台与圆台统称为台体。

7. 球的结构特征：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体。

• 球心：半圆的圆心叫做球的球心。
• 半径：半圆的半径叫做球的半径。
• 直径：半圆的直径叫做球的直径。
• 球的表示：用球心字母表示。如：球O

几何体的三视图和直观图

1. 空间几何体的三视图：

• 定义：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）；俯视图（从上向下）。
• 注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽带；侧视图反映了物体的高度和宽带。
• 球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形。

2. 空间几何体的直观图——斜二测画法

• (1) 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相较于点O。画直观图时，把它们画成对应的x’轴和y’轴，两轴交于点O’，且使<x’o’y’=45度(或135度)，它们确定的平面表示水平面。
• (2) 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画呈平行于x’轴或y’轴的线段。
• (3) 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
• (4) z轴方向的长度不变

平面

• 通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.
• 在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：
• a) A∈l—点A在直线l上；Aα—点A不在平面α内；
• b) lα—直线l在平面α内；
• c) aα—直线a不在平面α内；
• d) l∩m=A—直线l与直线m相交于A点；
• e) α∩l=A—平面α与直线l交于A点；
• f) α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.

平面的基本性质

• 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
• 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
• 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.
• 根据上面的公理，可得以下推论.
• 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
• 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
• 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
• 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行