ADC幅度量化误差的深入解析
ADC幅度量化误差的深入解析
ADC（模数转换器）在将模拟信号转换为数字信号的过程中，不可避免地会产生量化误差。本文将从理想ADC的传递函数出发，通过斜坡输入的量化误差分析，深入探讨量化误差的本质及其对系统性能的影响，并介绍如何将量化误差建模为噪声源，为相关领域的工程师和技术人员提供有价值的参考。
理想的ADC
理想的单极三位ADC的传递函数如图1所示。模拟输入的满量程（FS）值被分为八个相等的间隔（用1/8、1/4等表示）。在这些间隔的中点，存在从一个数字输出值到下一个数字输出值的转变。除第一个和最后一个台阶外，其他台阶的宽度都等于FS/8。步长（FS/8）还指定输出数字代码的有效位（LSB）的模拟值。因此，如果我们将上述ADC的输出应用于理想的数模转换器（DAC），代码001将产生模拟值FS/8，代码010将产生FS/4，依此类推。
图1：理想的单极三位ADC的传递函数
幅度量化误差
这里重要的一点是，给定的数字代码代表一系列模拟输入值；输入的幅度被量化。例如，从FS/16到3FS/16的所有输入值都由一个输出代码（代码001）表示。如果我们将ADC的输出连接到理想的三位DAC，代码001将产生模拟值FS/8。因此，从FS/16到3FS/16的模拟值由单个模拟值FS/8表示。因此，即使是理想的幅度量化也会引入一些误差。该误差称为量化误差（Vq），可以通过从DAC输出（Vout）中减去ADC输入（Vin）来计算，如下图3所示。
图3：量化误差的计算示意图
斜坡输入的量化误差
让我们将斜坡信号应用于上述设置的输入，并更仔细地检查量化误差。图4中的蓝线显示了应用于输入的斜坡。此外，该图以红色显示了我们在DAC输出中获得的量化电平。
图4：斜坡输入下的量化电平
在t0和t1之间，输入小于FS/16。考虑到图1的输入输出特性，ADC输出为000，这给出了量化模拟值Vout=0。如图5所示，此间隔的量化误差从0到-?FS/8（负半个LSB）。
图5：量化误差随时间的变化
在t1和t2之间，输入大于FS/16且小于3FS/16。ADC输出为001，给出量化模拟值Vout=FS/8（见图1和4）。对于此间隔，量化误差范围为+?FS/8到-?FS/8（参见图5）。同样，我们可以找到其他量化级别的误差值，如图5所示。请注意，除了一个级别之外，量化误差始终在±FS/16（半个LSB）之间。
现在我们可以使用图5来计算斜坡输入的量化误差的均方根（RMS）值。在区间T1<t<T2内定义的函数f(t)的RMS可通过以下等式获得：
对于图5的误差波形，我们有：
为了简单起见，我们忽略波形的部分(0<t<t1)和部分(t8<t<t9)。随着量化器分辨率的提高，忽略这两部分而引入的误差会减小。我们获得：
上式中的积分对应于同一信号的时移版本。时间平移不会改变曲线下的面积（或等效地，其积分）。因此，这些积分项是相等的。由于t2-t1=t3-t2=…=t8-t7，我们可以将上式简化为：
公式1
我们可以直接计算上面的积分。然而，为了使计算更简单，我们假设t2-t1=T并对波形应用-T/2的时移。因此，我们可以简单地计算Vq,new(t)的RMS，如下图6所示。
图6：时移后的量化误差波形
因此，方程1可以重写为：
公式2
其中Vq,new(t)由以下等式给出：
将此方程代入方程2并计算得出：
我们知道FS/8是LSB的模拟值。因此，RMS误差由以下等式给出：
这是一个重要的结果，我们稍后将再次推导它（在本文的第二部分），从不同的角度看待问题。
让我们总结一下迄今为止的发现：我们发现，即使是理想的幅度量化也会在系统中引入一些误差，称为量化误差。为了研究该误差的一些特性，我们应用了斜坡输入并观察到误差的RMS与LSB值成正比。此外，如图5示例所示，量化误差始终在±LSB/2之间。提高量化器的分辨率将减少LSB和误差项。此外，忽略图5中波形的部分(0<t<t1)和部分(t8<t<t9)，我们观察到误差的平均值为零。另请注意，对于给定的输入值，我们可以计算出误差的准确值。
更复杂输入的量化误差
尽管上述讨论使我们能够深入了解量化误差的某些属性，但它基于一个不切实际的假设，即输入是斜坡。让我们看另一个例子。这次我们对离散余弦信号x[n]=0.99cos(n/10)进行量化，如图7所示。
图7：离散余弦信号
如果我们对该信号应用8位量化器，量化误差序列将如图8所示。
图8：量化误差序列
与斜坡输入的情况不同，此示例的误差似乎不遵循某种模式，并且计算RMS误差并不容易。将此示例的输入余弦与错误序列进行比较，我们观察到以下内容：
- 输入是单频信号，但误差信号的频率内容似乎有很大不同。它的变化很快，因此我们期望它具有高频成分。
- 我们无法通过目视检查识别输入余弦和错误序列之间的联系。错误序列似乎与输入不相关，并且从一个样本到下一个样本随机变化。
正如我们在斜坡输入示例中观察到的那样，我们知道量化误差信号并不是真正随机的，实际上可以针对给定的输入值进行计算。但是，如果我们可以在某些假设下将量化误差建模为随机信号呢？量化误差的幅度在±LSB/2之间，这可能是一个很小的值，特别是当我们处理高分辨率量化器时。现在，如果这个低幅度信号以不可预测的方式变化，人们可能会得出结论，它类似于我们通常在不同电路和系统中遇到的噪声源。
将量化误差建模为噪声源的优点
将量化误差视为噪声源可以使问题简化很多。我们知道如何分析特定类型的噪声源对线性时不变（LTI）系统的影响。噪声源的瞬时值通常是不可预测的，因此时域分析是不可能的。然而，我们可以长时间观察噪声，并利用测量结果找到噪声的统计模型。例如，噪声源的一个有用特征是其“功率谱密度”（PSD），它使我们能够深入了解不同频带中噪声的平均功率。具有噪声信号的PSD，
因此，假设可以通过噪声源对量化过程进行建模，我们只需要找到噪声模型的功率谱密度，并用它来表征误差对系统性能的影响。在这种情况下，我们可以使用图3的模型来描述具有加性噪声源的量化过程，如图9所示。如您所见，量化值(Vout)等于输入(Vin)加上模拟量化误差(Vq)的噪声信号。
图9：量化过程的噪声模型
在本文的下一部分中，我们将研究将量化误差建模为噪声源的条件。然后，我们将深入研究所获得模型的一些重要特征，并使用它们来分析量化误差对系统性能的影响。
结论
即使是理想的幅度量化也会在系统中引入一些误差，称为量化误差。该误差的RMS与LSB值成正比。看来我们可以在某些假设下将量化误差建模为噪声信号。如果可能的话，这可以显着简化分析量化误差对系统性能的影响。