三角函数之半角公式

三角函数之半角公式

三角函数中的半角公式是数学中非常重要的内容，它们在解决各种数学问题时有着广泛的应用。本文通过几何图形和三角形的性质，详细推导了三个重要的半角公式，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

前置知识

• 公式1：(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1)

• 前知识1：三角形外角定理：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和

• 前知识2：圆周角定理（该定理之证明会援引前知识1），其中之一：圆的直径所对的圆周角是直角

如上图，(O)为原点，(PC)垂直于直径(AB)，(ＯＤ)垂直于(ＰＢ)
设圆的半径为1，(\angle POC=\theta)。
(\Delta POB)为等腰三角形，(\angle POC)为(\angle PBO)的外角。
根据前知识1，(\angle PBO=\frac{\theta}{2})
根据前知识2，(\Delta BPA)为直角三角形，(\angle APB=90^{\circ})

第一部分

[\begin{align}
\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, \quad (公式1) \ \
\angle k+\angle f=90^{\circ} \
\frac{\theta}{2}+\angle f=90^{\circ} \
\therefore\angle k=\frac{\theta}{2} \ \
OC=\cos\theta \
AC=1-\cos\theta \
PC=\sin\theta
\end{align} ]

第二部分

[\begin{align}
在\Delta PBC之中,　\quad　\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} \ \
在\Delta PAC之中,　\quad　\tan\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} \ \
结果1:\enspace \tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}
\end{align} ]

第三部分

[\begin{align}
在\Delta PBA之中, \quad \because \sin\frac{\theta}{2}=\frac{PA}{AB} \
\therefore PA=2\sin\frac{\theta}{2} \ \
在\Delta PAC之中,(2\sin\frac{\theta}{2})^{2}=(1-\cos\theta)^{2}+ \sin^{2}\theta \ \
2.1标:\enspace 4\sin^{2}\frac{\theta}{2}=1-2\cos\theta+\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta \
根据公式1 \
2.2标:\enspace 4\sin^{2}\frac{\theta}{2}=2-2\cos\theta \ \
\sin^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{2(1-\cos \theta)}{4} \ \
\sin ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2} \ \
结果2:\enspace \sin \frac{\theta}{2}= \pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}}
\end{align} ]

第四部分

[\begin{align}
DB=DP=\cos \frac{\theta}{2} \ \
PB=2\cos \frac{\theta}{2} \ \
在\Delta PBC之中, \quad (2\cos \frac{\theta}{2})^{2}=(1+\cos\theta)^{2}+\sin^{2} \theta \ \
4\cos^{2}\frac{\theta}{2}=1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta \
根据公式1 \
4\cos^{2}\frac{\theta}{2}=1+2\cos\theta+1 \ \
\cos^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{2+2\cos\theta}{4} \ \
\cos^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2} \ \
结果3:\enspace \cos\frac{\theta}{2}=\pm \sqrt[]{\frac{1+\cos\theta}{2}}
\end{align} ]