高等数学笔记：定积分的应用
高等数学笔记：定积分的应用
高等数学中定积分的应用是数学分析的重要组成部分，它不仅在理论研究中占有重要地位，还在物理学、工程学等多个领域有着广泛的应用。本文将详细介绍定积分在近似计算、几何应用和物理应用等方面的具体内容。
一、近似计算
1. 矩形法
从几何意义上考虑，将曲边梯形分成(n)个小曲边梯形（底边等长）。用矩形近似小曲边梯形，则其面积近似为：
[f(x_{i-1})\Delta x_{i} = f(x_{i-1})\frac{(b-a)}{n} = y_{i-1}\frac{(b-a)}{n}]
导出近似公式：
[\int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{i=1}^{n} \frac{b-a}{n} f(x_{i-1}) = \frac{b-a}{n}(y_{0}+y_{1}+\cdots+y_{n-1})]
也可取右端边长为矩形高，得右矩形公式。误差为(\frac{1}{n})的同阶无穷小。
2. 梯形法
从几何意义上考虑，将曲边梯形分成(n)个小曲边梯形（底边等长）。用梯形近似小曲边梯形，则其面积近似为：
[\frac{f(x_{i-1})+f(x_{i})}{2} \Delta x_{i} = \frac{(b-a)(y_{i-1}+y_{i})}{2n}]
导出近似公式：
[\int_{a}^{b} f(x) dx = \frac{b-a}{2n}[(y_{0}+y_{n})+2(y_{1}+\cdots+y_{n-1})]]
误差为(\frac{1}{n^2})的同阶无穷小。
3. 抛物线法（辛普森积分法）
从几何意义上考虑，将曲边梯形分成(n)个小曲边梯形（底边等长）。取(n=2m)，相邻两个小曲边梯形上方曲线部分用抛物线近似。则由((x_{2i-2}, y_{2i-2}), (x_{2i-1}, y_{2i-1}), (x_{2i}, y_{2i}))三点可定出抛物线(y=\alpha x^2+\beta x+\gamma)。
在([x_{2i-2}, x_{2i}])上小曲边梯形面积近似为：
[\int_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}(\alpha x^2+\beta x+\gamma) dx = \frac{b-a}{6m}(y_{2i-2}+4y_{2i-1}+y_{2i})]
导出近似公式：
[\frac{b-a}{6m}(y_{0}+y_{2m}+2(y_{2}+\cdots+y_{2m-2})+4(y_{1}+\cdots+y_{2m-1})]
误差为(\frac{1}{n^4})的同阶无穷小。
二、微元法
1. 问题引入
某个量分布在区间([a, b])上，如果有(dF=f(x)dx)，那么(F=\int_{a}^{b} f(x) dx)。问题是：我们怎样得到(f(x))？
2. 微元法
分析在小区间分布的部分量(\Delta F)的线性主部(dF)来得到(f(x)dx)。其中(\Delta F)与(dF)的差是高阶无穷小(o(\Delta x))。
三、几何应用
1. 面积
(1) 直角坐标系
若(f(x), g(x) \in C[a, b], f(x) \geq g(x))，求由(y=f(x), y=g(x), x=a, x=b)所围图形面积。
考虑([x, x+dx])上的面积：
[\Delta A \approx [f(x)-g(x)] dx \Rightarrow A = \int_{a}^{b}[f(x)-g(x)] dx]
对于下图的图形，面积为：
[A = \int_{c}^{l}[\varphi(y)-\psi(y)] dy]
(2) 参数方程形式
若曲边梯形的曲边方程为参数形式：
[\left{\begin{array}{l} x=x(t) \ y=y(t) \end{array} \quad t \in[\alpha, \beta]\right.]
(其中(a = x(\alpha), b = x(\beta)))。
则曲边梯形的面积为：
[A = \int_{a}^{b} y dx = \int_{\alpha}^{\beta} y(t) x'(t) dt]
(3) 极坐标形式
由曲线(r=r(\theta))，射线(\theta=\alpha, \theta=\beta)所围成的图形面积(A)。
考虑([\theta, \theta+d\theta])上的面积：
[\Delta A \approx \frac{1}{2} r^2(\theta) d\theta \Rightarrow A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2(\theta) d\theta]
2. 体积
(1) 已知截面积的几何体
若几何体的底面与(x)轴垂直，而在(x)处平行底面的截面面积为(A(x))，求其体积(V(a \leq x \leq b))。
考虑([x, x+dx])上的体积：
[\Delta V \approx A(x)dx \Rightarrow V = \int_{a}^{b}A(x)dx]
(2) 旋转体
由曲线(y=f(x) (y \geq 0))，直线(x=a, x=b)和(x)轴围成的曲边梯形绕(x)轴旋转所得几何体（旋转体）的体积。
[V = \int_{a}^{b} \pi y^2 dx = \int_{a}^{b} \pi f^2(x) dx]
① 曲线(x=x(y) (x \geq 0))绕(y)轴所得旋转体体积？
② 求旋转体的薄壳法
求曲线(y=y(x) (a \leq x \leq b))下方的曲边梯形绕(y)轴旋转所得几何体的体积。
考虑对应([x, x+dx])上的曲边梯形旋转出的体积：
[\Delta V \approx 2 \pi y x dx \Rightarrow V = \int_{a}^{b} 2 \pi x y(x) dx]
3. 弧长和旋转体侧面积
(1) 弧长
求曲线(y=y(x))上(a \leq x \leq b)一段的弧长(s)，回顾弧微分：
[ds = \sqrt{1+y'^2(x)} dx \Rightarrow s = \int_{a}^{b} \sqrt{1+y'^2(x)} dx]
若曲线弧段为(x=x(t), y=y(t) (\alpha \leq t \leq \beta))：
[ds = \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)} dt \Rightarrow s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)} dt]
(2) 旋转体的侧面积
由曲线(y=y(x) (a \leq x \leq b))下方的曲边梯形绕(x)轴旋转得旋转体的侧面积(S)。
考虑([x, x+dx])上曲线所对应的部分侧面积：
① 能不能看成圆柱侧面(\Delta S \approx 2\pi y dx)（不成立）←并非线性主部
② (\Delta S \approx 2 \pi y ds = 2 \pi y \sqrt{1+y'^2} dx \Rightarrow S = \int_{a}^{b} 2 \pi y \sqrt{1+y'^2} dx)
四、物理应用
1. 做功问题
内半径1米的半球形水池，将满池水抽尽，需做功多少？
2. 压力问题
底长为(a)高为(h)（单位为m）的三角形薄板铅直地放入水中，底边恰在水表平面中，求薄板一个侧面上所受压力。
3. 引力问题
均匀细棒长(2l)，质量为(M)（万有引力常数为(G)）：
① 单位质量的质点(A)在棒的延长线上距棒中心(O)点(a)处。
② 单位质量的质点(B)在棒的垂直平分线上距(O)点(a)处。
求细棒分别对(A, B)的引力。