实信号转换为复信号的原理讲解及MATLAB验证

实信号转换为复信号的原理讲解及MATLAB验证

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/NIKANG12/article/details/145751398

在信号处理中，将实信号转换为复信号（解析信号）是提取相位、包络及抑制负频率分量的重要步骤。常用的方法有两种：希尔伯特变换、正交混频法。本文详细介绍了希尔伯特变换和正交混频法的原理，并结合Matlab代码进行效果演示。

一、方法原理与对比

1. 希尔伯特变换法

原理：希尔伯特变换通过将实信号的负频率分量相位偏移±90°，构造解析信号（复信号），其虚部为实信号的希尔伯特变换结果。解析信号的频谱仅保留正频率分量。

公式：

• 实信号x ( t ) x(t)x(t)的解析信号z ( t ) = x ( t ) + j ⋅ H [ x ( t ) ] z(t) = x(t) + j⋅H[x(t)]z(t)=x(t)+j⋅H[x(t)]，其中H [ ⋅ ] H[⋅]H[⋅]表示希尔伯特变换。
• 频域操作：将实信号频谱的负频率部分置零，正频率部分幅度加倍。

适用场景：适合离线分析，如包络提取、瞬时频率计算。

2. 正交混频法（正交下变频）

原理：将实信号与复指数载波e − j 2 π f c t e^{-j 2 \pi fc t}e−j2πfct相乘，通过低通滤波保留基带信号，得到复信号的实部（I路）和虚部（Q路）。

公式：

• 混频后信号：z ( t ) = x ( t ) ⋅ e − j 2 π f c t z(t) = x(t)⋅e^{-j 2 \pi fc t}z(t)=x(t)⋅e−j2πfct，滤波后保留低频分量。
• 等效于将频谱从载频f c fcfc搬移到基带，消除负频率。

适用场景：适合通信系统实时处理，如软件定义无线电（SDR）。

二、Matlab实现与效果演示

1. 希尔伯特变换法

代码示例：

fs = 1000; 
t = 0:1/fs:1-1/fs;
x = 0.5*cos(2*pi*5*t) .* cos(2*pi*50*t); % 调制信号（实信号）
z_hilbert = hilbert(x);                  % 希尔伯特变换得到复信号
% 绘图
figure();
subplot(3,1,1); 
plot(t, x); 
title('实信号时域波形');
subplot(3,1,2); 
plot(t, real(z_hilbert)); 
title('复信号实部（原信号）');
subplot(3,1,3); 
plot(t, imag(z_hilbert)); 
title('复信号虚部（希尔伯特变换）');

效果：

• 复信号的实部与原信号一致，虚部为相位偏移90°的结果（余弦→正弦）。
• 频谱分析显示单边谱（仅正频率）：

f = (-fs/2:fs/length(x):fs/2-1);
Z_hilbert = fftshift(fft(z_hilbert));
Z_x = fftshift(fft(x));
figure(); 
subplot(2,1,1);
plot(f, abs(Z_x)); 
title('原始实信号频谱（双边）');
subplot(2,1,2);
plot(f, abs(Z_hilbert)); 
title('希尔伯特法频谱（单边）');

2. 正交混频法

代码示例：

fs = 1000; 
t = 0:1/fs:1-1/fs;
fc = 50;                                % 载波频率
t = 0:1/fs:1;
x = (1 + 0.5*cos(2*pi*5*t)) .* cos(2*pi*fc*t + 0.5*sin(2*pi*10*t)); % 调制信号
local_osc = exp(-1j*2*pi*fc*t);         % 本地复振荡器
z_mix = x .* local_osc;                 % 混频

% 低通滤波（保留基带）
[b, a] = butter(6, 10/(fs/2));          % 截止频率10Hz
z_mix_filtered = filtfilt(b, a, z_mix);

% 绘图
figure();
subplot(2,1,1); 
plot(t, real(z_mix_filtered)); 
title('复信号实部（I路）');
subplot(2,1,2); 
plot(t, imag(z_mix_filtered)); 
title('复信号虚部（Q路）');

效果：

• I/Q两路信号分别对应复信号的实部和虚部，频谱搬移到基带（中心频率0Hz）：

Z_mix_filtered = fftshift(fft(z_mix_filtered));
Z_x = fftshift(fft(x));
figure(); 
subplot(2,1,1);
plot(f, abs(Z_x)); 
title('原始实信号频谱（双边）');
subplot(2,1,2);
plot(f, abs(Z_mix_filtered)); 
title('混频法频谱（单边）');

三、方法对比与选择建议

四、应用案例：包络提取

希尔伯特法提取包络：

envelope = abs(z_hilbert);              % 复信号模值为包络
figure(); 
plot(t, x, 'b'); 
hold on; 
plot(t, envelope, 'r--'); 
title('包络提取对比'); 
legend('原信号', '包络');

效果：红色虚线为提取的包络，与理论包络1 + 0.5 cos ⁡ ( 2 π 5 t ) 1+0.5\cos (2 \pi 5t)1+0.5cos(2π5t)一致。

五、结论

两种方法均能有效实现实信号到复信号的转换：

• 希尔伯特变换法适合需要精确频谱分析的场景；
• 正交混频法更适合实时系统及通信应用。

通过Matlab代码实践，可直观理解复信号构造原理及工程意义。