数字信号处理基础：序列的能量及周期性分析
数字信号处理基础：序列的能量及周期性分析
本文主要介绍了数字信号处理中序列的能量和周期性两个概念。文章首先解释了序列能量的概念及其在信号归一化中的应用，并通过一个具体例子计算了序列的能量。接着，文章详细阐述了周期序列的定义和性质，使用MATLAB代码绘制了周期性序列的流线图。最后，文章讨论了三角函数周期性序列的周期性条件，并通过具体例子说明了如何判断正弦序列是否具有周期性。
一、序列的能量
序列能量在数字信号处理中的应用：能量归一化。在信号处理中，有时需要对信号进行归一化处理，使得信号的能量为特定的值，这在一些算法和系统设计中起着重要作用。通常用于分析信号的强度和有效性。
例如，给定一个数字信号序列 x[n]=[1,−2,3,−4,5]，计算该信号的能量。
设序列的能量为E。根据定义E 为序列各个样本值的平方和：
在这个题目中序列的能量：
二、序列的周期性
周期这个词在高一数学中就有周期函数这个概念。
周期序列和周期函数一样：如果序列x(n)移动N位（N可以为负数，当n>0时，表示序列向左移动）后，序列的值依旧还是那几个，既序列值不变，只改变离散时间变量n，则这个序列就是周期性序列，满足: x(n)=x(n+N) 。【需要注意的是，移位只跟离散时间变量n有关，如果有系数，就需要提出】
周期性序列的流线图，该周期性序列的周期N=8
使用matlab软件绘制上面的周期性序列的流线图，代码如下：
x=[-4:1:18];
nx=[3,11,7,0,-1,4,2,0,3,11,7,0,-1,4,2,0,3,11,7,0,-1,4,2];
stem(x,nx,'.');
xlabel('离散时间变量n');
title('周期性序列');
axis([-5 20 -2 12]);
grid on;
三角函数用得最多的就是正弦函数，对应的就是连续的正弦信号：
其中：
- 是模拟角频率。记忆：“模拟”，在模拟信号（时域上分析）中；”角频率“，在三角函数的时间变量前面。
- 是信号频率。计算：
- 是信号周期。计算：
对于连续正弦信号来说，它具有周期性。如果以抽样间隔T等间隔抽样这个连续正弦信号，就可以得到正弦序列：
简写：正弦序列x(n)=
此时该正弦序列不一定具有周期性，如果要该正弦序列想具有周期性，就需要满足： x(n)=x(n+N)
因此，要令 x(n)=
) ，则
，结合正弦序列的表达式 x(n)=
，可以发现在移动的过程中表达式多了
这一项，这个时候就需要将多出来的项抵消掉或者是令它等于周期，既
=2kΠ ，可以得到关于序列周期 N 的表达式：
如果存在一个正整数k使得N也为正整数（且为最小正整数），那么该正弦序列具有周期性，周期为N。
例如下面的的题目：
数字信号处理 唐向宏著p11页题目
解答：
1） ω0=Π/4，N=2kΠ/ω0=2kΠ×(4/Π)=8k→k=1，N=8 ；该序列最小周期N为8。
2） ω0=4Π/5，N=2kΠ/ω0=2kΠ×(5/4Π)=5/2k→k=2，N=5 ；该序列最小周期为5。
3） ω0=1/4，N=2kΠ/ω0=2kΠ×4=8kΠ ，8Π是个无理数(8×3.1415926.......)，所以 k 没办法取到取到确切的正整数，使得 N 为正整数整数，因此该序列不具有周期性，是非周期序列。