深度解析归并排序（Merge Sort）
深度解析归并排序（Merge Sort）
在计算机科学的众多排序算法中，归并排序以其高效性和稳定性而备受关注。它是一种基于分治策略的排序算法，能够在相对较短的时间内对大规模数据进行排序，并且在处理过程中不会改变相同元素之间的相对顺序。
归并排序的原理
归并排序的核心思想是将一个数组分成两个子数组，分别对这两个子数组进行排序，然后再将排好序的子数组合并成一个有序的数组。这个过程可以递归地进行，直到子数组的长度为 1 或 0，此时子数组本身就是有序的。
具体来说，归并排序的原理基于以下两点：
- 分治策略
- 将问题分解为规模更小的子问题，分别解决这些子问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。在归并排序中，就是不断地将数组分成两半，对两半分别进行排序，然后再合并。
- 合并有序子数组
- 已知两个有序子数组，将它们合并成一个更大的有序数组。这个过程通过比较两个子数组的元素大小，依次将较小的元素放入合并后的数组中，直到其中一个子数组的元素全部被放入，然后将另一个子数组剩余的元素依次放入合并后的数组中。
归并排序的实现步骤
分解过程
首先，将给定的数组不断地分成两半，直到每个子数组的长度为 1 或 0。这个过程可以通过递归实现。例如，对于数组
[8, 4, 5, 7, 1, 3, 6, 2]
，第一次分解得到
[8, 4, 5, 7]
和
[1, 3, 6, 2]
，然后继续对这两个子数组进行分解，直到得到单个元素的子数组。
合并过程
当子数组的长度为 1 或 0 时，开始进行合并操作。以两个长度为 1 的子数组
[8]
和
[4]
为例，比较它们的元素大小，将较小的元素
4
放入一个新的临时数组中，然后比较
8
和下一个元素（此时
[4]
子数组已没有下一个元素），将
8
放入临时数组。这样就得到了一个有序的子数组
[4, 8]
。
对于长度大于 1 的子数组，例如
[4, 8, 5, 7]
和
[1, 3, 6, 2]
，分别从两个子数组的开头开始比较元素大小，将较小的元素放入临时数组。依次类推，直到其中一个子数组的元素全部被处理完，然后将另一个子数组剩余的元素全部放入临时数组。最后，将临时数组中的元素复制回原数组对应的位置。
😊动图展示 ：
✍以下是用 C++ 实现归并排序的代码：
// 归并函数，将两个有序的子数组合并为一个有序数组
void merge(int arr[], int left, int mid, int right) {
// n1 是左子数组的长度
int n1 = mid - left + 1;
// n2 是右子数组的长度
int n2 = right - mid;
// 创建临时数组 L 和 R，分别存储左子数组和右子数组的元素
int L[n1], R[n2];
// 将原数组中左子数组的元素复制到临时数组 L
for (int i = 0; i < n1; i++)
L[i] = arr[left + i];
// 将原数组中右子数组的元素复制到临时数组 R
for (int j = 0; j < n2; j++)
R[j] = arr[mid + 1 + j];
// i 用于遍历左子数组 L，j 用于遍历右子数组 R，k 用于遍历合并后的数组（原数组的指定区间）
int i = 0, j = 0, k = left;
// 当左子数组和右子数组都还有元素未被处理时
while (i < n1 && j < n2) {
// 如果左子数组当前元素小于等于右子数组当前元素
if (L[i] <= R[j]) {
// 将左子数组当前元素放入原数组的指定位置，并移动左子数组的指针 i
arr[k] = L[i];
i++;
} else {
// 如果右子数组当前元素小于左子数组当前元素，将右子数组当前元素放入原数组的指定位置，并移动右子数组的指针 j
arr[k] = R[j];
j++;
}
// 无论放入的是左子数组还是右子数组的元素，都要移动合并后数组的指针 k
k++;
}
// 如果左子数组还有剩余元素，将其全部复制到原数组的指定位置
while (i < n1) {
arr[k] = L[i];
i++;
k++;
}
// 如果右子数组还有剩余元素，将其全部复制到原数组的指定位置
while (j < n2) {
arr[k] = R[j];
j++;
k++;
}
}
// 归并排序函数
void mergeSort(int arr[], int left, int right) {
if (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
// 对左右子数组递归排序
mergeSort(arr, left, mid);
mergeSort(arr, mid + 1, right);
// 合并两个已排序的子数组
merge(arr, left, mid, right);
}
}
时间复杂度分析
最好情况
在最好情况下，即数组已经是有序的，归并排序的时间复杂度仍然是
。这是因为无论数组是否有序，归并排序都需要进行对数级别的分解和合并操作。每次分解都将数组分成大致相等的两部分，直到子数组的长度为 1，这个过程需要
次。而每次合并操作需要线性时间
（因为需要遍历所有元素），所以总的时间复杂度为
。
最坏情况
在最坏情况下，例如数组是逆序的，归并排序的时间复杂度同样是
。分解过程的时间复杂度是
，与最好情况相同。合并过程中，每次比较都需要进行次（因为两个子数组的长度之和为
），总共需要进行
次合并，所以合并过程的时间复杂度为
。因此，归并排序在最坏情况下的时间复杂度也是
。
平均情况
归并排序的平均时间复杂度也是
。在平均情况下，每次分解和合并的操作次数与最好情况和最坏情况大致相同。可以通过数学推导来证明其平均时间复杂度，但这超出了本文的范围。总之，归并排序在各种情况下都能保持相对稳定的时间复杂度，这是它的一个重要优点。
空间复杂度分析
归并排序的空间复杂度为
。这是因为在合并过程中，需要使用一个临时数组来存储合并后的结果。临时数组的长度最大为
（当合并整个数组时），所以空间复杂度为
。
需要注意的是，归并排序可以通过一些优化措施来减少空间复杂度，例如在原地进行合并（即不使用额外的临时数组），但这样会增加算法的复杂性和实现难度。
结论
归并排序是一种高效、稳定的排序算法，基于分治策略和合并有序子数组的原理，能够在
的时间复杂度内对数据进行排序，并且在各种情况下时间复杂度稳定。然而，归并排序的空间复杂度较高，数据移动较多，在内存有限和对数据移动操作敏感的场景中可能需要谨慎考虑。在实际应用中，我们需要根据具体的需求和数据特点来选择合适的排序算法，而归并排序无疑是排序算法家族中一个重要且值得深入理解的成员。