平面任意力系的简化原理与方法详解
平面任意力系的简化原理与方法详解
在工程领域，经常遇到作用在物体上的力的作用线都在同一平面内（或近似地在同一平面内），且呈任意分布的力系，这样的力系称为平面任意力系。本文将详细介绍平面任意力系的简化原理和方法，包括力的平移定理、平面任意力系向面内任一点简化的步骤以及简化结果的分析。
一、力的平移定理
作用在刚体上A点处的力F，可以平移到刚体内任意点O，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点O的矩，这就是力的平移定理。如图所示。
证明：根据加减平衡力系公理，在任意点O加上一对与F等值的平衡力F′、F″，则F与F″为一对等值反向不共线的平行力，组成了一个力偶，其力偶矩等于原力F对O点的矩，即
M=MO（F）=Fd
（2 7）
于是作用在A点的力F就与作用于O点的平移力F′和附加力偶M的联合作用等效。
力的平移定理表明了力对绕力作用线外的中心转动的物体有两种作用：一是平移力的作用；二是附加力偶对物体产生的旋转作用。
二、平面任意力系的简化及结果分析
1.平面任意力系向面内任一点简化
设刚体上作用有一平面任意力系F1、F2、…、Fn，在平面内任意取一点O，称为简化中心。根据力的平移定理，将各力都向O点平移，得到一个汇交于O点的平面汇交力系F′1、F′2、…、F′n，以及平面力偶系M1、M2、…、Mn。
（1）平面汇交力系F′1、F′2、…、F′n，可以合成为一个作用于O点的合矢量F′R，
F′R=∑F′=∑F
（2 8）
它等于力系中各力的矢量和。显然，单独的F′R不能和原力系等效，它被称为原力系的主矢。将式（28）写成直角坐标系下的投影形式为
F′Rx=F1x+F2x+…+Fnx=∑FxF′Ry=F1y+F2y+…+Fny=∑F㊣
╮y╯
（2 9）
因此主矢F′R的大小及其与x轴正向的夹角分别为
F′R=㊣F2Rx+F2Ry=㊣（∑Fx）2+（∑Fy）2
θ=arctan
FFRRxy=arctan ∑∑FFy㊣
╮
x╯
（2 10）
（2）附加平面力偶系M1、M2、…、Mn可以合成为一个合力偶矩MO，即
MO=M1+M2+…+Mn=∑MO（F）
（2 11）
显然，单独的MO也不能与原力系等效，因此它被称为原力系对简化中心O的主矩。
综上所述，得到如下结论：平面一般力系向平面内任一点简化可以得到一个力和一个力偶，这个力等于力系中各力的矢量和，作用于简化中心，称为原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，称为原力系的主矩。
原力系与主矢F′R和主矩MO的联合作用等效。主矢F′R的大小和方向与简化中心的选择无关。主矩MO的大小和转向与简化中心的选择有关。
2.平面任意力系的简化结果分析
由前述可知，平面任意力系向一点O简化后，一般来说得到主矢F′R和主矩MO，但这并不是简化的最终结果，进一步分析可能出现以下四种情况：
（1）F′R=0，MO≠0。说明该力系无主矢，而最终简化为一个力偶，其力偶矩就等于力系的主矩，此时主矩与简化中心无关。
（2）F′R≠0，MO=0。说明原力系的简化结果是一个力，而且这个力的作用线恰好通过简化中心，此时F′R就是原力系的合力FR。
（3）F′R≠0，MO≠0。这种情况还可以进一步简化，根据力的平移定理逆过程，可以把F′R和MO合成一个合力FR。合成过程如图所示，合力FR的作用线到简化中心O的距离为
d=
FMRO=FM′RO
（2 12）
（4）F′R=0，MO=0。这表明：该力系对刚体总的作用效果为零，即物体处于平衡状态。
三、实例分析
例24
如图所示的水平梁上作用有力及力偶。已知F=50kN，P=10kN，m=100kN·mm，求此力系向A点简化的结果。
解：此例是将力系向指定点进行简化，A点为简化中心，简化后将得到一个作用于A点的力和一个力偶，即得到原力系的主矢和主矩。
Rx=∑Fix=Pcos30°=10×0.866=8.66（kN）
Ry=∑Fiy=F-Psin30°=50-10×0.5=45（kN）
主矢的大小
R=㊣R2x+R2y=㊣8.662+452=45.82（kN）
主矢的方向
tanα=
RRyx=8.4566=5.20，即α=79.11°
主矩
MA=m+FdF-PdP=100+50×100-10×（100+50）×sin30°
=4350（kN·mm）
例2 5
如图所示为一铆接钢板的受力图，A、B、C为三个铆钉，其上受力为F1=200N，与水平方向成60°角，F2=150N，F3=100N，求此三力的合成结果。
解：此例是求力系的最简结果。（1）将力系向A点简化。
Rx=∑Fix=F1cos60°-F2=200×cos60°-150=-50（N）
Ry=∑Fiy=F1sin60°-F3=200×sin60°-100=73.2（N）
主矢的大小
R=㊣R2x+R2y=㊣（-50）2+（73.2）2=88.65（N）
主矢的方向
tanα=
RRyx=
735.02=1.464，即α=55.66°
主矩 MA=∑MA（Fi）=F1d1+F2d2-F3d3=0+150×0.3-100×0.2
=25（N·m）
（2）因主矢和主矩均不为零，所以结果不是最简结果，可进一步简化为一合力，即将主矢再一次平移，平移距离为
d=MRA=882.569=0.282（m）
因为主矩为逆时针，故需将主矢向A点的右侧平移0.282m。力系的最终合成结果为一合力，其大小和方向与所求的R相同。
