自由空间电磁波传输损耗公式（弗里斯公式）里的常数-32.44dB到底怎么来的?

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@小白创作中心

自由空间电磁波传输损耗公式（弗里斯公式）里的常数-32.44dB到底怎么来的?

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CSDN

https://blog.csdn.net/goldenhawking/article/details/121344017

自由空间电磁波传输损耗公式（弗里斯公式）中的常数-32.44dB是如何得来的？这个问题困扰了很多人。本文将通过详细的数学推导，揭示这个常数的物理意义，并澄清一些常见的误解。

几个月前，我们几个半吊子讨论了深空通信的问题, 原文看这里。今天，和天线专业的老师聊天，才弄清楚一些问题。看起来隔行如隔山。前面我们讨论的几个很民科的议题包括：

自由空间耗散公式(弗里斯公式)里的常数 -32.44 dB 到底和气压有木有关系。原因是当时在网上看到一个文章，提到了这个公式是在一个大气压下应用的。
有没有方法计算天线的特性？查阅资料，发现方向图和有限元分析就是干这个的，不过好用的建模分析软件一般很专业，基本都是要花钱的。使用Matlab 的天线工具箱，可以研究一些简单的模型。

1.弗里斯公式和常数由来

1.1.发射部分

假设三维空间一个全向均匀的天线，向外发射电磁波。则在空间距离D处，这个球面所在位置的功率密度为

E = 1 A = 1 4 π D 2 E={1 \over A}={1 \over {4\pi D^2} }E=A1 =4πD21

E的量纲为“每平方米”，即，如果发射能量为1单位，D距离（米）为半径的球面上，单位面积1平方米对应的能量为E单位。

1.2.接收部分

在D距离处，有一个等效的全向天线（一个理想振子）。全向天线阵子可以理解是一个导线，等效面积究竟是多少呢？这里用到一个全向天线的“电尺寸”概念，一个全向理想振子的等效截面积是

S = λ 2 4 π S={\lambda^2 \over {4\pi } }S=4πλ2

上述波长λ \lambdaλ单位为“米”，后面发现这个单位“米”很关键。S量纲为“平方米”

1.3.收发合并

收发合并后，接收到的能量密度：

R = E S = 1 4 π D 2 λ 2 4 π R=ES={1 \over {4\pi D^2} }{\lambda^2 \over {4\pi } }R=ES=4πD21 4πλ2

R是比例（百分比），无量纲。由于波长等于光速除以频率，即：

λ = C F \lambda= {C\over F}λ=FC

因此上式可以写为：

R = E S = 1 4 π D 2 C 2 4 π F 2 R=ES={1 \over {4\pi D^2} }{C^2 \over {4\pi F^2 } }R=ES=4πD21 4πF2C2

注意，光速为 300000000米/秒，频率单位为赫兹（Hz）

1.4. 带入单位得到弗里斯公式

出现常数的原因，是用d千米(km)表示距离D，用 f 兆赫兹(MHz)表示频率F。这样，上述公式变为：

R = 1 4 π ( 1 0 3 d ) 2 ( 3 × 1 0 8 ) 2 4 π ( 1 0 6 f ) 2 = ( 3 40 π ) 2 ( 1 d ) 2 ( 1 f ) 2 R={1 \over {4\pi (10^3d)^2} }{(3 \times10^8 )^2 \over {4\pi (10^6f)^2 } }=({3\over{40\pi}})^2({1\over d})^2({1\over f})^2R=4π(103d)21 4π(106f)2(3×108)2 =(40π3 )2(d1 )2(f1 )2

换算为分贝

r = 10 lg ⁡ R = 20 lg ⁡ 3 40 π − 20 lg ⁡ d − 20 lg ⁡ f = − 32.4 − 20 lg ⁡ d − 20 lg ⁡ f r = 10\lg R=20\lg {3\over{40\pi}}-20 \lg d -20 \lg f=-32.4-20 \lg d -20 \lg fr=10lgR=20lg40π3 −20lgd−20lgf=−32.4−20lgd−20lgf

可见，这个-32.4不是用温度、气压弄出来的经验值，而是因为使用了MHz、Km作为单位，结合光速折算出来的确切值，保留四位小数，就是 -32.4418。