数论中的加法和乘法的基本单元分析

数论中的加法和乘法的基本单元分析

在数论的世界里，数字如同拥有神奇魔力的精灵，能够推演出无穷无尽的公式和方程。当我们追溯这些公式的最小单位时，会发现加法中的0和1，以及乘法中的素数，构成了数学大厦的基石。本文将带领读者一起探索这些基本单元的奥秘，以及它们如何相互交织，共同构建起数论的宏伟殿堂。

加法中的0和1

原始社会的古人在认识世界的时候，首先发现了数字。他们发现自己手有五个手指，所以发明了五进制，这种五进制，在天上是五星和五行，在地上是五形和五方，还有五色，五脏等。后来又加上双手就形成了十进制，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。而9+1=10，就是进位了。以后的任何自然数都是在个位数上重复前面的十个数字。随着研究天文学，古人又发现了十月历法和十二月历法。这样，就出现了十二进制。而十二和十的最小公倍数是六十。这样又出现了六十进制。而中国的人文始祖伏羲，则是用两个符号来表示：——和－－。这就是阴阳。从而他发明了二进制。因为它不是从大自然中自然地得出的，二进制就已经是非常抽象的数学了。由二进制开始，伏羲又发明了四进制，八进制和六十四进制等。其推演是1的2倍是2，2的平方为4，这是第一层变化；4的2倍是8，8的平方是64，这是第二层变化；如果规律不变，那么第三层变化是64的2倍是128，128的平方是16384。这就是古代人认为的最大极数——万。这就是古代数学关于位数和进位的认识。伏羲利用阴阳二种符号，突破计算的功能，将世界万物加以模拟，形成了《易经》。伏羲创立的是《连山易》。这种思维成为了中国传统最优秀的思辩思想的源头。

那么组成加法的最小单位是什么？

在古代，实际上伏羲的二进制已经给出了答案。所有正整数都可以用阴和阳，推出来。这种想法后来被莱布尼茨接受并加以继续研究，用0和1来代替阴阳，形成了现代意义上的二进制算法。这种算法也是现代计算机的通用算法。现代二进制也突破了数学领域，进入到社会的方方面面。阴和阳，或者0和1，都是对现实的模拟。

那么，他们是如何推演的呢？

0+0=0,0+1=1,1+1=2,0+2=2,1+2=3…，通过加一的算法进行计算就可以找到所有的正整数。其符号是+，这就是推演过程。而逆推演就是减法，其符合是－。

古人将二进制和五进制相结合，而形成了十进制。十进制就是我们在现实社会中应用最广的进制模式。

而加法的逆运算就是减法。所以，加减法成为古代社会生产生活中常用的计算方法。

而随着人们惹认识的深入，人们又发现了同余定理，将进制写成了a≡b（modm）。而通用的方法是：a≡nb+z（modm）。或者b¦a-z。还有就是a-z modm（b）等。这样，人们就是发现新大陆一样，发现了数学中的元素周期表。只要用不同的进位制而已，比如化学元素周期表就是用八进制进行等。

乘法中的素数

在研究了加法后，古人并没有止步，他们发现有很多计算是相同数字相加或者相减。这样的计算如何用更加简单的方式来表示呢？

我们今天知道是用乘法和除法。乘法符号有两种，一种是×，另一种是✱还有一种是·。同样，除法符号也有两种：一种是÷，另一种是/。无论哪一种，都可以。那么乘法除法符号有什么来历吗？

在乘法中，是否也有单位元素，从而推出所有正整数呢？

这是数是有的，但不是两个而是无穷多个。这个单位元素就是素数再加上加法的两个单位元0和1。

根据欧几里德的证明，素数有无穷多个。所以任何自然数数N都可以表示为N=a1a2a3…an

素数的乘积可以表示所有的除0和1之外的自然数。

比如：

00=0,01=0,11=1,12=2,22=4，123=6,51=5，5*2=10…。

这里任何大于2的自然数都可以用素数，或者素数的乘积来表示。

这样，乘法就可以用素数来表示了。而乘法的逆运算是除法。也可以用这样的方法来表示。值得注意的是，我们规定任何1/0的得数是∝的绝对值。而相反相反的是1/±∝的得数是0。这种规定在现代科学中应用很广。

人们不甘心就此止步，所以又开始研究无穷级数。进而引发了数学革命，进入高等函数阶段。

我们暂且不表了。

加法和乘法的相互联系和推演

通过以上的分析，我们回顾了加减乘法的演变过程。那么两者有没有更深一层的关系呢？

比如两个数相加，可以用素数乘法来表示吗？

很多数学家都证明了自然数就是由素数和合数组成的。而合数就是由素数乘积组成的。所以，严格的说，所有数字都可以用素数表示出来，这就是素数为乘法单元的另一种说法。我们下面我们来看一个非常重要的猜想——哥德巴赫猜想。这个猜想认为任何大于2的偶数都可以用两个素数之和来表示。我们的数学家——陈景润证明了任何大于2的偶数都可以用一个素数加上一个合数来表示。

在这里合数为素数的乘积。那么就剩下最后一步，将合数用素数代替了。

但就这个代替却难住了后来的数学家们。很多人穷其一生，都消磨在了对哥德巴赫猜想的证明中。

究其原因就是无法将乘法完全表示为加法的缘故。

许多人的算法想通过合数来反推素数，就走了很大的弯路。因为这种反推是非常困难的。

我们假设大于2的偶数为2M。那么哥德巴赫猜想就表示为2M=p+q（p<q）∈P（P为素数）

也就是说，偶数表示为特定的素数之和。那么这两个素数是怎么得来的？

实际上就是在刨除了2M之间所有的两个合数之和，所有的一个素数加上一个合数之和。之后剩余的素数的特定组合。也就是说，我们需要证明的是2M=p+q（p<q）∈P（P为素数）在刨除了陈景润证明的结论之外的结论。也就是要反着陈景润来。所有组合成2M的两个数之和，我们记作S，所有2M之中两个合数之和A，所有的2M之中一个素数加上一个合数之和，记作B。而剩余的组合两个素数之和我们记作C。那么

用通俗的公式表示就是：

C=S-A-B。

我们需要证明C>0。也就是偶数可以分解为两个素数之和，有解。