反常积分(Anomalous Integrals)
反常积分(Anomalous Integrals)
20.反常积分
20.1 收敛和发散
出现反常积分的三种情况：
- 破裂点（瑕点）
- 反常积分大致图像示意
有限(ε)逼近无限(左边界a)
数ε越小，对这块无限区域的估算就越接近于实际值
20.1.1 反常积分的例子
上述反常积分发散
1/x的图像并没有那么接近于y轴，所以它对应的积分是发散的
上述反常积分收敛
1/√x的图像足够接近于y轴，以至于它对应的积分是收敛的
一个反常积分在有界区间的收敛或发散是由它的被积函数在非常接近破裂点时的走势决定的
此种情况中积分上限的值不影响判断反常积分发散或收敛
20.1.2 其他破裂点（瑕点）
函数在积分上限是无界的
函数在区间[a, b]内有破裂点（瑕点）c
∫a^b f(x)dx
分成两部分
当下面两部分同时收敛时，积分∫a^b f(x)dx才收敛
如果任何一个发散，则积分∫a^b f(x)dx发散
20.2 瑕积分
20.2.1 瑕积分类型一
积分上下限有一个无穷时的情况
只要不选择新瑕点，那么a值对广义积分（反常积分）的收敛还是发散就没有任何影响。仅仅需要考虑的是当x非常大时，函数的走势怎样
例1：
积分上下限同时是无穷时的情况
拆分成两部分，让每一部分只有一个瑕点
例1：
例2：
例3：
20.2.2 瑕积分类型二
例1：
例2：
20.3 比较判别法（理论）
比较判别法是用一个函数的反常积分的结果去判别另一个函数的反常积分
20.3.1 关于发散性
如果在区间(a, b)内，函数f(x) ≥ g(x)且积分∫b^a g(x)dx是发散的，那么积分∫b^a f(x)dx也是发散的
如果f(x) ≤ g(x)，积分∫b^a g(x)dx是发散的，那么积分∫b^a f(x)dx可能发散、可能收敛
20.3.2 关于收敛性
如果在区间(a, b)内有0 ≤ f(x) ≤ g(x)，且积分∫b^a g(x)dx是收敛的，那么积分∫b^a f(x)dx也一定是收敛的
想要求的面积（∫b^a f(x)dx）是正的并小于一个有限的面积（∫b^a g(x)dx），所以∫b^a f(x)dx是有限的
如果f(x) ≥ g(x)，积分∫b^a g(x)dx是收敛的，那么积分∫b^a f(x)dx可能发散、可能收敛
20.4 极限比较判别法（理论）
假设有两个函数在破裂点x = a是非常接近的（无其他破裂点）那么积分∫b^a f(x)dx和∫b^a g(x)dx同时收敛或同时发散
极限比较判别法的重点是：能找到一个和被积函数在瑕点附近敛散性一致的函数
20.4.1 函数互为渐近线
因为比值接近于1，所以f(x)非常接近于g(x)
这并不意味着f(x)和g(x)的差是非常小的
例如：
f(x)为万亿，而g(x)为万亿+一百万
f(x)/g(x)非常小，但g(x)-f(x)却为一百万
并不说明当x接近于a时，f(x)大约等于g(x)
它说明当x接近于a时，f(x)和g(x)的比值接近于1
也就是说，当x → a，函数f(x)和g(x)是渐进等价的
例子：
渐进等价是极限的另一种书写形式
两个渐进等价的函数可以进行相除或相乘、幂运算，但不能进行加或减
例子：
判别法的应用
20.5 p判别法（理论）
使用比较判别法和极限比较判别法时，需要选择一个能与函数f相比较的函数g，这个函数g最常用的是1/x^p
20.6 绝对收敛判别法
比较判别法的一个假设是函数f和g都是非负的
如果函数是负的或在积分区间不停地正负振荡，应使用绝对收敛判别法
只有当积分的绝对值情况是收敛的，才能使用绝对收敛判别法
例1：
例2：