深入浅出通信原理：周期信号和非周期信号的离散谱
深入浅出通信原理：周期信号和非周期信号的离散谱
通信原理中的信号分析是理解现代通信系统的基础。本文将深入浅出地介绍周期信号和非周期信号的离散谱，包括频谱、幅度谱、相位谱等概念，并通过余弦信号、正弦信号、方波信号和周期矩形信号等具体案例进行详细讲解。
一、周期信号的离散谱
1. 频谱
以频率为横轴，将所有Ck画到ω=k×ω0处与横轴垂直的复平面上，得到了三维频谱。
方波信号的傅里叶系数Ck是实数，只有实轴和频率轴，三维频谱基础上将虚轴忽略。
2. 幅度谱
以频率为横轴，以幅度为纵轴，将所有Ck的幅度（也就是模）画到一张图中，就是幅度谱,模的数值为正。
3. 相位谱
以频率为横轴，以初相为纵轴，将所有ck的初相画到一张图中，就是相位谱。
4. 余弦信号的频谱
余弦信号表达式：
f(t)=cos(ω0t)=1/2×e ^ (jω0t)+1/2×e ^ (-jω0t)
余弦信号的频谱、幅度谱和相位谱如下：
5. 正弦信号的频谱
正弦信号表达式：
f(t)=sin(ω0t)=1/(2j)×(e ^ (jω0t)-e ^ (-jω0t))=-j/2×e ^ (jω0t)+j/2×e ^ (-jω0t)
正弦信号的频谱、幅度谱和相位谱如下：
6. 方波信号的频谱
周期T=1，脉冲宽度τ=0.5，占空比1/n=τ/T=1/2
周期矩形信号傅里叶系数表达式：
Ck=1/n×sinc(k/n)
以频率为横轴，傅里叶系数Ck为纵轴，方波信号的频谱如下：
横轴的单位是ω0，坐标轴上的k对应的频率为k×ω0，k和k+1对应的频率间隔为基波频率ω0。谱线之间的频率间隔就是基波频率。
ω0=2π/T，T是周期信号的周期,只有ck为实数的情况下才能这样画三维频谱。
7. 周期矩形信号的频谱
周期矩形信号的傅里叶系数Ck=1/n×sinc(k/n),n=T/τ=1/(τf0)，由此可以得出：
Ck=1/n×sin(τkf0)
幅度为1、脉宽为τ、占空比为1/n的周期矩形信号的离散谱就是对1/n×sin(τkf0)的采样，采样间隔为f0。
不同占空比的周期矩形信号波形，最上面为Ck=1/2×sin(k/2)，中间为Ck=1/4×sin(k/4)，最下面为Ck=1/8×sin(k/8)。
不同占空比的周期矩形信号对应的频谱图比较，最上面为Ck=1/2×sin(k/2)，中间为Ck=1/4×sin(k/4)，最下面为Ck=1/8×sin(k/8)。
周期每扩大一倍，谱线的数量也扩大一倍，谱线间隔和谱线长度都会减小一半。随着周期的不断增大，谱线间隔越来越小，谱线长度也越来越短。虽然三个频谱图横轴的刻度不同，但是坐标轴相同位置对应的频率是相同的。
二、非周期矩形脉冲信号的连续谱
对于周期矩形信号来讲，谱线的长度等于Ck，谱线的间隔等于基波频率f0，二者的商为Ck/f0。如果以k×f0～(k+1)×f0为底边，画一个宽为f0、面积为Ck的矩形，ck/f0就是矩形的高。
把周期矩形信号所有的Ck都用矩形面积表示出来，并将所有矩形顶端连接起来，将得到一条阶梯状折线。
ck/f0的取值就是对τsinc(τf0)的平顶采样，采样间隔为f0。随着周期的增大，阶梯状折线逐渐逼近τsinc(τf)这条曲线。当τ→∞ 时，周期矩形信号演变为非周期矩形脉冲信号。
幅度为1、脉宽为τ的非周期矩形脉冲信号的连续频谱是X(f)=τsinc(τf)。