弦的横振动方程的导出
弦的横振动方程的导出
本文讨论了弦的横振动方程的导出过程。从一个具体的数学建模问题出发，详细推导了一端固定弦和两端固定弦的振动方程。内容涉及泛定方程、边界条件的求解，以及物理模型的分析。
来源于西电数模双创作业。
题目：绝对柔软而均匀的弦线, 有一端固定在它本身重力的作用下, 此线处于铅垂的平衡位置, 试导出此线的微小横振动方程
一、解答：一端固定的弦
1.泛定方程求解
如图，设弦长为
，弦的线密度为
，则x点处的张力T(x)为
且T(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段
，则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为
其中
表示T(x)方向与x轴的夹角的正切值。又
于是得运动方程
利用微分中值定理，消去，再令Δx→0得
2.边界条件求解
在x=0处，弦线固定，所以
。
在x=l处，由于是自由端，其张力在y方向的分量为 0，即
。
二、补充：两端固定的弦
1.物理模型
设有一根细长柔软的弦线，绷紧于A，B两点之间，在平衡位置AB附近产生振幅极为微小的横振动，求这弦上各点的运动规律。
2.分析
（1）确定研究对象：
设 u(x,t) 为弦位移，则u满足规律所求。为了研究u，在x位置处取Δx小段弦为研究对象。
（2）物理问题的数学抽象：
1）由于弦是“细长”的，所以ρ(x,t)=ρ(t)且忽略重力
2）由于弦“绷紧”于AB两点，这说明弦中各相邻部分之间有拉力即“张力”作用；由于弦是“柔软”的，所以相邻小段张力总是弦线的切线方向；
3）由于弦作“微小”的横向振动，故相邻点沿振动方向位移的差别很小，即
（无穷小量）（
）
3.研究建立方程
注意到在振动过程中，
即这一小段的长度在振动过程中可以看作是不变的。因此，由胡克(Hooke)定律知张力和线度都不随 t 而变，即T(x,t)=T(x)，ρ(t)=ρ。
分析任意段Δx受力。在x轴方向上，两端分别有
和
的张力分力。在y轴方向上，两端分别有
和
的张力分力；同时，受到外力
的作用（
）。
由牛顿第二定律，得
由三角公式
可得：
因此两个牛顿方程分别变为：
整理得
对上式两边取Δx→0 时的极限，得
即：弦的微小横振动方程是一维的波动方程，其中
表示振动在弦上的传播速度，
称为力密度，表示t时刻作用于x处的单位质量上的横向外力。