概率论符号详解：分号、逗号和竖线在概率公式中的含义
概率论符号详解：分号、逗号和竖线在概率公式中的含义
概率论是机器学习和深度学习的重要数学基础，其中的符号表示方法和概念理解对于学习者来说往往是一个难点。本文将详细介绍概率论中常用的三种符号：分号、逗号和竖线在概率公式中的含义，并结合扩散模型中的具体例子，帮助读者更好地理解这些概念。
符号优先级
概率公式中一共有三种符号：分号 ;、逗号 ,、竖线 |。
分号
;代表前后是两类东西，以概率P(x;θ)为例，分号前面是x样本，分号后边是模型参数。分号前的表示的是这个式子用来预测分布的随机变量x，分号后的表示所需的相关参数θ。逗号
,代表两个事件同时发生的概率，逗号连接两个事件，有时可以省略，如联合概率P(AB)，等价于P(A,B)竖线
|代表 if，以条件概率P(A|B)为例，A，B是随机试验E的两个随机试验，P(A|B)就是在B事件发生的条件下，发生A事件的概率，结合图进行理解：
优先级：, > | > ;
例子1：P(A|B,C) 表示在 B，C 的条件下，发生 A 的概率。
例子2：P(y∣x ; α,ω ) 表示：x 发生条件下 y 的条件概率，该条件概率模型用参数 α,ω 建模（或者说用参数 a,ω 表示）。
注意：
p ( x ∣ θ )不总是代表条件概率，也就是说p ( x ∣ θ )不代表条件概率时与p ( x ; θ )等价。而一般地，写竖杠表示条件概率，是随机变量。p ( x ; θ )中，分号后的表示待估参数（是固定的，只是当前未知），应该可以直接认为是p ( x )，加了，是为了强调说明这里有个θ的参数，p ( x ; θ )意思是随机变量X = x的概率。在贝叶斯理论下又叫X = x的先验概率。
和扩散模型推导公式的联系
根据以上讨论的这些，现在讨论一个比较复杂的情况。比如，N ( x ; 0 , I ) 的意思是什么？
我们知道，N ( 0 , I ) 表示标准高斯分布，均值为 0，方差为 1，其本质上也是一个概率密度函数
$$
f(x) = \frac{1}{{\sigma \sqrt{2\pi}}} e^{ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}
$$
（标准高斯分布情况下为）
$$
f(x) = \frac{1}{{\sqrt{2\pi}}} e^{ -\frac{x^2}{2}}
$$
从这里可以发现，一般的函数我们都是强调自变量本身（比如 x），而在概率论里面有时候强调的是函数参数本身（比如高斯分布的均值和方差），而淡化了输入变量 x。因此 N ( x ; 0 , I ) 相比与 N ( 0 , I ) 的区别就在于显式强调了函数的输入为 x。
这下，就好理解扩散模型中的噪声公式了：
那么，q ( x t ∣ x t − 1 ) = N ( x t ; 1 − β t x t − 1 , β t I )，这个公式何意义？
这个东西分多步看。首先，函数本身是个条件概率分布，q ( x t ∣ x t − 1 ) 表示 x t − 1 已知的情况下，x t 的分布（x t 取各种值的概率）。而后面的这个高斯分布则强调了其输入自变量为 x t（因为是 x t 的概率密度函数，所以自变量当然是 x t），而高斯分布的均值和方差则分别为
$$
\sqrt{1-\beta_t }x_{t-1} 和 \beta_t I
$$
与条件分布的条件 x t − 1 有关。
全概率（概率函数连乘）
图示可表示为：
参考：