夹逼准则：数学分析中的重要极限求解方法

夹逼准则：数学分析中的重要极限求解方法

夹逼准则（也称为夹逼定理或两边夹定理）是数学分析中一个非常重要的极限求解方法。它通过构造两个收敛到同一极限的数列，来确定一个位于两者之间的数列的极限。这种方法在处理一些复杂的极限问题时特别有效，尤其是在求解数列极限和函数极限时。本文将详细介绍夹逼准则的定义、证明及其在实际问题中的应用。

夹逼准则的定义

如果数列 $\left{{x}{n}\right}、\left{{y}{n}\right}$ 及 $\left{{z}_{n}\right}$ 满足：

(1) $\exists {N}{0}\in \mathbf{N}$ ，当 $n>{N}{0}$ 时， ${y}{n}\le {x}{n}\le {z}_{n}$ ；

(2) $\underset{n\to \infty }{lim}{y}{n}=a，\underset{n\to \infty }{lim}{z}{n}=a$ ，

那么数列 $\left{{x}{n}\right}$ 的极限存在，且 $\underset{n\to \infty }{lim}{x}{n}=a$

证明略

从几何图形上看，函数$f\left(x\right)$在${x}_{0}$点值和$h\left(x\right),g\left(x\right)$一样,

夹逼准则通俗解释，假设$A=1，C=1$,而$A\le B\le C$ ,那么$B=1$

典型例题解析

例1

求极限 $\underset{n\to \infty }{lim}\left[\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{\left(n+1{\right)}^{2}}+\cdots +\frac{1}{\left(n+n{\right)}^{2}}\right]$

解 设 ${x}{n}=\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{\left(n+1{\right)}^{2}}+\cdots +\frac{1}{\left(n+n{\right)}^{2}}$ ， 则可知 ${x}{n}$ 为 $n+1$ 项之和. 我们需要先对数列 $\left{{x}_{n}\right}$ 的通项进行适当的 “放缩" .

即有

$\frac{n+1}{4{n}^{2}}=\frac{n+1}{\left(n+n{\right)}^{2}}<\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{\left(n+1{\right)}^{2}}+\cdots +\frac{1}{\left(n+n{\right)}^{2}}<\frac{n+1}{{n}^{2}}=\frac{1}{n}+\frac{1}{{n}^{2}}$

因为 $\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n+1}{4{n}^{2}}=0，\underset{n\to \infty }{lim}\left[\frac{1}{n}+\frac{1}{{n}^{2}}\right]=0$, 由夹逼准则得

$\underset{n\to \infty }{lim}\left[\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{\left(n+1{\right)}^{2}}+\cdots +\frac{1}{\left(n+n{\right)}^{2}}\right]=0$

例2

求极限 $\underset{x\to 0}{lim}x\left[\frac{1}{x}\right]$.

解 当 $xe 0$ 时, $\frac{1}{x}-1<\left[\frac{1}{x}\right]\le \frac{1}{x}$ ，

因此，当 $x>0$ 时, $1-x<x\left[\frac{1}{x}\right]\le 1$ ，由夹逼定理可得 $\underset{x\to {0}^{+}}{lim}x\left[\frac{1}{x}\right]=1$ ， 当 $x<0$ 时，有 ${}_{1-x>x}\left[\frac{1}{x}\right]\ge 1$ ， 由夹逼定理可得 $\underset{x\to 0}{lim}x\left[\frac{1}{x}\right]=1，$. 从而

$\underset{x\to 0}{lim}x\left[\frac{1}{x}\right]=1.$

例3

求 $\underset{n\to \infty }{lim}\left(\frac{\sqrt[n]{n+1}}{\sqrt{{n}^{2}+2}}+\frac{\sqrt[n]{n+2}}{\sqrt{{n}^{2}+4}}+\cdots +\frac{\sqrt[n]{n+n}}{\sqrt{{n}^{2}+2n}}\right)$

解：

$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \infty }{lim}\frac{n\cdot \sqrt[n]{n+1}}{\sqrt{{n}^{2}+2n}}=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\left(n+1{\right)}^{\frac{1}{n}}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}=1\ & \underset{n\to \infty }{lim}\frac{n\cdot \sqrt[n]{n+n}}{\sqrt{{n}^{2}+2}}=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\left(n+n{\right)}^{\frac{1}{n}}}{\sqrt{1+\frac{2}{{n}^{2}}}}=1\end{array}$

所以其值为1.

夹逼准则使用技巧

夹逼准则最大的难度是找到缩放的比例，对这个问题，将以六道经典例题来分析一下这类题目的难点和相同点，进而让你掌握一把万能钥匙。

核心思想是通过改变最小影响量的值来放大缩小求和形式，放缩后的求和形式必须是定积分定义的形式（一般情况是定积分定义表达式子×一个仅包括n且极限值为1的极限或者是一个标准的定积分定义表达式）

1. $\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}$;

我们初步的尝试（说句实话，没有一道数学题不是通过尝试来做的，谁又能保证自己—定不犯错呢？）是通过去掉1和增加1这个对通式影响最小的因素，来配定积分定义形式。

令人高兴的是，增加1和去掉1，会导致整个求和式子变小和变大，变大的时候可以直接配成一个定积分形式，而变小也可以配成一个一样的定积分形式乘上一个仅包含 $n$ 的极限。

如果这个极限存在且为 1 那么，左右就相等了〈不用怀疑，肯定相等〉。

放大（去掉1）： $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}\le \frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{2\sqrt{i}}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{0}\frac{1}{2\sqrt{\frac{i}{n}}}$ ；

缩小（增加1）：

$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}\ge \frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{2\sqrt{i+1}}=\left(\frac{1}{n+1}\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{2\sqrt{\frac{i+1}{n+1}}}\right)\sqrt{\frac{n+1}{n}}$

取极限有

$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \infty }{lim}\frac{1}{n}\sum {i=1}^{0}\frac{1}{2\sqrt{\frac{i}{n}}}={\int }{0}^{1}\frac{1}{2\sqrt{x}}dx\ & \underset{n\to \infty }{lim}\left(\frac{1}{n+1}\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{2\sqrt{\frac{i+1}{n+1}}}\right)\sqrt{\frac{n+1}{n}}=\underset{n\to \infty }{lim}\left(\frac{1}{n+1}\sum {i=1}^{n}\frac{1}{2\sqrt{\frac{i+1}{n+1}}}\right)\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{\frac{n+1}{n}}=\ & {\int }{0}^{1}\frac{1}{2\sqrt{x}}dx\cdot 1\end{array}$

再求积分即可!

2. $\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{{n}^{2}+i}$;

需要注意的是，并不是所有的都是放缩为定积分。

对通式影响最小的因素是 $i$ ，那么我们尝试将其放缩为 0 和n（记住，要形成思维惯性，放缩要以其变化的最大最小值左右放缩）。接下来是放大后与放小后的结果相差一个仅包含 $n$ 的极限值为 1 的极限，有夹逼准则即可。

放大（令 i 为 0 ）： $\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{{n}^{2}+i}\le \frac{1}{n}$ ；

缩小（令i为 $n$ ）： $\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{{n}^{2}+i}\ge \frac{n}{{n}^{2}+n}=\frac{1}{n+1}$ ；

两边去极限为0.

3. $\underset{n\to \infty }{lim}\left(\sum _{i=1}^{n}\frac{{i}^{2}}{{n}^{3}+{n}^{2}+n+i}\right)$ ；

对通式影响最小的因素是 i ！

放大（令i为0）： $\sum _{i=1}^{n}\frac{{i}^{2}}{{n}^{3}+{n}^{2}+n+i}\le \sum _{i=1}^{n}\frac{{i}^{2}}{{n}^{3}+{n}^{2}+n}=\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}{\left(\frac{i}{n}\right)}^{2}\right)\cdot \frac{{n}^{3}}{{n}^{3}+{n}^{2}+n}$ ；

缩小（令i为 $n$ ）： $\sum _{i=1}^{n}\frac{{i}^{2}}{{n}^{3}+{n}^{2}+n+i}\le \sum _{i=1}^{n}\frac{{i}^{2}}{{n}^{3}+{n}^{2}+2n}=\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}{\left(\frac{i}{n}\right)}^{2}\right)\cdot \frac{{n}^{3}}{{n}^{3}+{n}^{2}+2n}$ ；

取极限结果均为 ${\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx\cdot 1$

4. $\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{4{n}^{2}+{i}^{2}}}$;

$\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{4{n}^{2}+{i}^{2}}}=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1}{n}\sum {i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{4+{\left(\frac{i}{n}\right)}^{2}}}={\int }{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{4+{x}^{2}}}dx$

5. $\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{i=1}^{n}\frac{\mathrm{sin}\frac{i\pi }{n}}{n+\frac{1}{i}}$;

对通式影响最小的因素是 $\frac{1}{i}$ !

放大（令 $\frac{1}{i}$ 为 0 ）： $\sum _{i=1}^{n}\frac{\mathrm{sin}\frac{i\pi }{n}}{n+\frac{1}{i}}\le \frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}\mathrm{sin}\pi \left(\frac{i}{n}\right)$ ；

缩小（令 $\frac{1}{i}$ 为1）： $\sum _{i=1}^{n}\frac{\mathrm{sin}\frac{i\pi }{n}}{n+\frac{1}{i}}\ge \frac{1}{\epsilon +1}\sum _{i=1}^{n}\mathrm{sin}\frac{i\pi }{n}=\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}\mathrm{sin}\pi \left(\frac{i}{n}\right)\right)\cdot \frac{n}{n+1}$

取极限分别为 ${\int }{0}^{1}\mathrm{sin}\left(\pi x\right)dx$ 和 ${\int }{0}^{1}\mathrm{sin}\left(\pi x\right)dx\cdot 1$

求积分即可。

6. $\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{n+\frac{{i}^{2}+1}{n}}$;

对通式影响最小的因素是1！

tips：在进行放缩之前，请整理分式！

即 $\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{n+\frac{{i}^{2}+1}{n}}=\sum _{i=1}^{n}\frac{n}{{n}^{2}+{i}^{2}+1}$ ；

放大（去掉1）： $\sum _{i=1}^{n}\frac{n}{{n}^{2}+{i}^{2}+1}\le \sum _{i=1}^{n}\frac{n}{{n}^{2}+{i}^{2}}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{1+{\left(\frac{i}{n}\right)}^{2}}$ ；

缩小 (加上1) : $\sum _{i=1}^{n}\frac{n}{{n}^{2}+{i}^{2}+1}\ge \sum _{i=1}^{n}\frac{n}{\left(n+1{\right)}^{2}+\left(i+1{\right)}^{2}}=\left(\frac{1}{n+1}\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{1+{\left(\frac{i+1}{n+1}\right)}^{2}}\right)\left(\frac{n}{n+1}\right)$

两边取极限分别式 ${\int }{0}^{1}\frac{1}{1+{x}^{2}}dx$ 和 ${\int }{0}^{1}\frac{1}{1+{x}^{2}}dx\cdot 1$

求积分即可!

总结：

通过以上例题分析，我们提炼出一种针对这种题型的方法，可简称为三段法(万能钥匙)：

1.写成求和形式；

2.从通式中找出影响最小的因素，这个因素一般是i，常数。

3.通过放缩这个最小因素来进行放大或缩小。（需要注意的是，这个放缩形式一般是比较简单的，比如化为0，最小值，最大值，甚至去第六题，需要将其放置在n和i中。）

在考研范围内，针对夹逼准则的数列极限类型的求解 ，学会以上三段乘积法，将没有任何问题！