正态分布的线性组合与独立性：全面讲解

正态分布的线性组合与独立性：全面讲解

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weidl001/article/details/144325531

正态分布是概率论与数理统计中的重要分布之一，其线性组合与独立性的性质在许多理论和应用中都非常关键。本文将从正态分布的定义出发，详细讲解其线性组合的性质、独立性的影响以及概率计算方法，帮助读者全面理解这一重要知识点。

正态分布的定义

若随机变量 $X$ 服从正态分布，记为 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其概率密度函数为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$
其中：

• $\mu$：均值，决定分布的中心位置。
• $\sigma^2$：方差，决定分布的宽度（波动性）。

正态分布的线性组合

定理：正态分布线性组合仍服从正态分布

若 $X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，且 $X_1$ 和 $X_2$ 相互独立，则它们的线性组合：
$$
Y = aX_1 + bX_2 + c
$$
也服从正态分布，记为：
$$
Y \sim N(a\mu_1 + b\mu_2 + c, a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)
$$

证明：

1. 均值的线性性：

• 随机变量的均值具有线性性：
  $$
  E(aX_1 + bX_2 + c) = aE(X_1) + bE(X_2) + c
  $$
  所以，均值为：$a\mu_1 + b\mu_2 + c$。

2. 方差的独立性加和：

• 对于相互独立的随机变量，其线性组合的方差为各分量方差的加权和：
  $$
  \text{Var}(aX_1 + bX_2 + c) = a^2\text{Var}(X_1) + b^2\text{Var}(X_2)
  $$
  即：$a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2$。

3. 正态分布的闭包性：

• 由于正态分布是“闭合的”，即正态分布的任意线性组合仍是正态分布，因此：
  $$
  Y \sim N(a\mu_1 + b\mu_2 + c, a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)
  $$

特殊情况：

1. 如果 $Y = X_1 + X_2$：

• 均值：$E(Y) = \mu_1 + \mu_2$
• 方差：$\text{Var}(Y) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2$
• $Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$

2. 如果 $Y = X_1 - X_2$：

• 均值：$E(Y) = \mu_1 - \mu_2$
• 方差：$\text{Var}(Y) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2$
• $Y \sim N(\mu_1 - \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$

独立性对线性组合的影响

定理：独立性保证方差的简单加和

若 $X_1$ 和 $X_2$ 相互独立，则它们的协方差为零，即：
$$
\text{Cov}(X_1, X_2) = E(X_1X_2) - E(X_1)E(X_2) = 0
$$
因此，线性组合的方差只与各分量的方差有关，不涉及交叉项。

非独立情形：

• 如果 $X_1$ 和 $X_2$ 不是独立随机变量，则需要考虑协方差：
  $$
  \text{Var}(aX_1 + bX_2) = a^2\text{Var}(X_1) + b^2\text{Var}(X_2) + 2ab\text{Cov}(X_1, X_2)
  $$

例子：

1. 独立情况：

• $X_1 \sim N(0, 1)$，$X_2 \sim N(1, 4)$，独立。
• $Y = 2X_1 + 3X_2$：
• 均值：$E(Y) = 2E(X_1) + 3E(X_2) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 3$
• 方差：$\text{Var}(Y) = 2^2\text{Var}(X_1) + 3^2\text{Var}(X_2) = 4 + 27 = 31$
• $Y \sim N(3, 31)$

2. 非独立情况：

• $X_1 \sim N(0, 1)$，$X_2 \sim N(1, 4)$，且 $\text{Cov}(X_1, X_2) = 2$。
• $Y = 2X_1 + 3X_2$：
• 均值：$E(Y) = 3$（不变）
• 方差：$\text{Var}(Y) = 4 + 27 + 2 \cdot 2 \cdot 3 = 39$
• $Y \sim N(3, 39)$

正态分布的概率计算

标准正态分布：

• 若 $Z \sim N(0, 1)$，则标准正态分布的概率表可用于快速计算。
• 性质：
  1. $P(Z \leq 0) = 0.5$
  2. $P(Z \leq z) = 1 - P(Z > z)$

非标准正态分布：

• 若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，可以通过标准化转换为标准正态分布：
  $$
  Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)
  $$

应用：

• 对于 $P(X \leq c)$，标准化为 $P\left(Z \leq \frac{c - \mu}{\sigma}\right)$，利用正态分布表或计算工具求解。

总结

1. 正态分布的线性组合是正态分布，独立性使得方差可以简单加和。
2. 标准化是处理正态分布概率问题的重要工具。
3. 非独立情况下需要考虑协方差对方差的贡献。
4. 重点公式：

• 线性组合：$Y = aX_1 + bX_2 + c \sim N(a\mu_1 + b\mu_2 + c, a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)$
• 标准化：$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$