卷积的通俗解释

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@小白创作中心

卷积的通俗解释

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CSDN

https://blog.csdn.net/dog250/article/details/139935977

卷积(Convolution)是信号处理和机器学习领域中的一个核心概念。本文将从时间和空间两个维度来解释卷积的原理。

时间维度的卷积

在时间维度上，卷积可以理解为当前信号状态是所有历史信号状态的叠加。以信号 (f(t)) 为例，在时刻 (t) 的信号状态是所有 (t, t-1, t-2, t-3, \ldots) 时刻的信号 (f(t), f(t-1), f(t-2), f(t-3), \ldots) 作用到当前状态的叠加。如果用 (g(t)) 来刻画"作用力的变化"，那么 (f(t), f(t-1), f(t-2), f(t-3), \ldots) 在当前的作用力分别为 (g(0), g(1), g(2), g(3), \ldots)。将这些作用力叠加起来，就得到了当前的信号状态。

为什么是 (f) 和 (g) 相乘？这里可以把 (g(t)) 理解为"单位信号随着时间流逝的作用力"。单位信号就是单位 1 的作用，即"单位冲激"。1 个信号强度随时间流逝的作用力是 (g)，即"单位冲激响应"，这描述了系统的特征。在线性系统中，(f) 的信号强度随时间的作用力自然就是 (f \times g)。

连续版本的卷积公式如下：

[
\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau
]

这个写法和很多教科书上的写法是反着的，教科书上一般是：

[
\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau
]

不过有了前面的解释后，这种写法也容易理解了。0 时刻的信号 (f(0)) 作用了 (t) 时间，以此类推，1，2，3，4 时刻的信号分别持续了 (t-1, t-2, t-3, t-4) 时间。

离散卷积的例子：移动指数平均

来看一个离散卷积的例子：移动指数平均。设时刻 (t) 的采样值为 (v_t)，它在整体移动指数均值中的作用按系数 (\beta) 衰减，那么时刻 (t-1, t-2, t-3, \ldots) 的采样作用分别为 (v_{t-1} \cdot \beta^1, v_{t-2} \cdot \beta^2, v_{t-3} \cdot \beta^3, \ldots)。那么，当前的移动指数均值就是所有这些历史采样值作用的叠加：

[
A_t = (1-\beta)v_t + \sum_{n=1}^t v_{t-n} \cdot \beta^n
]

这就是一个离散的卷积形式。

空间维度的卷积

在空间维度上，卷积可以理解为当前位置的状态是其周边位置状态的叠加。在图像处理中，往往用矩阵卷积运算"用坐标 ((u, v)) 处周边坐标的特征影响坐标 ((u, v)) 的特征"。比如想要检测边缘，(g(x, y)) 是一个 (3 \times 3) 矩阵，为了加强像素差异，(g(x, y)) 矩阵可以写成下面这样：

[
\begin{bmatrix}
-1 & -1 & -1 \
-1 & 9 & -1 \
-1 & -1 & -1
\end{bmatrix}
]

这个和"当前信号状态是其周边状态的叠加"以及"当前移动指数平均是其周边采样值衰减的叠加"异曲同工，只是时间的周边只有历史，未来尚未到来。