特征向量的求法举例

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@小白创作中心

特征向量的求法举例

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来源

https://www.thjunshi.com/jqsd/202503/2314824.html

特征向量是线性代数中的一个重要概念，尤其在矩阵理论和应用中有着广泛的应用，例如在数据分析、机器学习等领域。本文通过一个具体的例子来说明如何求解矩阵的特征向量。

例子：求矩阵的特征值和特征向量

假设我们有一个2x2的矩阵A：
[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix} ]

步骤1：求特征值

首先，我们需要找到矩阵A的特征值。特征值λ满足以下方程：
[ \det(A - \lambda I) = 0 ]
其中I是单位矩阵。对于上述矩阵A，我们有：
[ \det\left(\begin{pmatrix} 3 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = 0 ]
即：
[ \det\left(\begin{pmatrix} 3-\lambda & 2 \ 1 & 4-\lambda \end{pmatrix}\right) = (3-\lambda)(4-\lambda) - 21 = 0 ]
展开得到：
[ \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 ]
解这个二次方程，我们得到两个特征值：
[ \lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 5 ]

步骤2：求特征向量

接下来，对于每个特征值，我们求对应的特征向量。特征向量v满足：
[ (A - \lambda I)v = 0 ]

对于特征值λ1=2：
[ \begin{pmatrix} 3-2 & 2 \ 1 & 4-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} ]
从上式可以得出：
[ x + 2y = 0 ]
令(y = t)（t为任意非零实数），则(x = -2t)。因此，对应特征值2的特征向量可以表示为：
[ v_1 = \begin{pmatrix} -2 \ 1 \end{pmatrix} ]

对于特征值λ2=5：
[ \begin{pmatrix} 3-5 & 2 \ 1 & 4-5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} ]
从上式可以得出：
[ -2x + 2y = 0 ]
令(x = t)（t为任意非零实数），则(y = t)。因此，对应特征值5的特征向量可以表示为：
[ v_2 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} ]