高等数学第九讲一元函数积分学的应用

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高等数学第九讲一元函数积分学的应用

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CSDN

https://m.blog.csdn.net/weixin_62613321/article/details/140945458

1. 一元函数积分学的应用

【本讲思路大总结】:

先说面积，直角坐标系下不必多说，参数方程下要先写成直角坐标系的形式，然后再用参数替换掉，注意上下限要对应好。极坐标下有公式，写就完了。

再说旋转体体积，假如这个旋转体体积是绕x轴或者y轴旋转的，那么用单重积分总结的截面法和柱壳法，假如绕的别的，那么用二重积分计算旋转体体积。

注意上下限要对应好

最后说，弧长和侧面积，侧面积就是弧长(写成积分形式)*2πy，弧长在三种坐标系下都有公式，都要记住。

上下限和面积体积不同，要保证上限大于下限，始终为正

再补充一下，表面积，具体问题具体分析。想象一下旋转的立体图形，有的需要侧面积就是表面积，有的需要你补底，有的需要你用一个图形的侧面积-一个图形的侧面积。

文章目录

1. 一元函数积分学的应用
【本讲思路大总结】:
1. 几何应用
1.1 用定积分表达和计算平面图形的面积
1.2 用定积分表达和计算旋转体的体积
1.2.1 微分法
1.2.2 二重积分法
1.2.3 古尔丁定理
1.2.4 旋转体的体积公式总结
1.3 用定积分表达和计算函数的平均数
1.4 其他几何应用
1.4.1 "平面上的曲边梯形"的形心坐标公式
1.4.2 平面曲线的弧长
1.4.3 旋转曲面的面积(侧面积)
公式使用小总结
1. 积分等式与积分不等式(待整理）
3.物理应用
3.1 变力沿直线做功
3.2 抽水做功
3.3 静水压力
4.重难点题型总结
4.1 参数方程求定积分面积

1. 几何应用

1.1 用定积分表达和计算平面图形的面积

三大体系下的图形，直角坐标系和极坐标系直接计算，参数方程转换为直角坐标系再进行计算。

下面给出平面直角坐标系和极坐标系下两条曲线所围成平面图形的面积：

(2)的解释说明:

扇形面积，dθ趋近于0，看成90度，阴影部分面积看成三角形 1/2底*高

高是r2，底是弧长，弧长=顶角✖️边长=dθ✖️r2，故 1/2✖️r2dθ *r2=1/2 r22dθ

1.2 用定积分表达和计算旋转体的体积

1.2.1 微分法

经典的做法，但是只能较为有效解决绕x轴，y轴的旋转体的体积，不太推荐。

1.2.2 二重积分法

方法来源于：武忠祥高等数学辅导讲义，利用二重积分来解决旋转体体积的问题。

核心思想:拿出待求面积内的一个小面积记作dσ，将这个小面积旋转，剪开，发现是一个圆柱体，圆柱体体积=底面积*高，底面积就是dσ，高是没剪开的甜甜圈的周长，2派r，其中这个r是，点(x,y)到旋转直线的距离，有公式。

综上，

v = 底面积 ∗ 高 = ∬ D d σ ∗ 2 π r ( x , y ) = 2 π ∬ D r ( x , y ) d σ v = 底面积*高 = \iint \limits_{D}^{}d\sigma *2\pi r\left(x,y\right) = 2\pi \iint \limits_{D}^{}r\left(x,y\right)d\sigmav=底面积∗高=D∬ dσ∗2πr(x,y)=2πD∬ r(x,y)dσ