拉格朗日(Lagrange)中值定理

拉格朗日(Lagrange)中值定理

拉格朗日中值定理是微积分学中的一个重要定理，它揭示了函数在区间上的平均变化率与某点的瞬时变化率之间的关系。理解拉格朗日中值定理需要先掌握罗尔中值定理，因为罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，而泰勒中值定理则是拉格朗日中值定理的推广。

定义

若函数(f(x))满足下列条件：

• (f(x))在闭区间([a,b])上连续
• (f(x))在闭区间((a,b))上可导

则在((a,b))内至少存在一点(\xi)，使得
[f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}]

等价形式：
[f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),\quad a< \xi <b]

几何意义

在满足定理条件的曲线(y=f(x))上至少存在一点(P(\enspace \xi,\enspace f(\xi)\enspace))，经过该点处的切线平行于曲线两端端点的连线(AB)。如下图所示：

证明

证明思路：构造一个原函数，以及利用罗尔中值定理

[ \begin{align}
证明：f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \
\
构造原函数: W(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} x \
\
而W(x)的导数正是：W'(x)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \
\
将a、b两点代入W(x)： \
W(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} a \
\
\frac{f(a)b-f(a)a}{b-a} - \frac{f(b)a-f(a)a}{b-a} = \frac{f(a)b-f(a)a-f(b)a+f(a)a}{b-a} \
\
得：W(a)=\frac{f(a)b-f(b)a}{b-a} \
\
W(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} b \
\
\frac{f(b)b-f(b)a}{b-a}-\frac{f(b)b-f(a)b}{b-a} = \frac{f(b)b-f(b)a-f(b)b+f(a)b}{b-a} \
\
得：W(b)=\frac{f(a)b-f(b)a}{b-a} \
\
\therefore W(a)=W(b) \
且W(x)满足罗尔中值定理中的对于在开闭区间内连续与可导的两条条件 \
故存在 \xi \in (a,b) \
便可以据罗尔中值定理推出: W'(\xi)=0 \
\
\because W'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \
\
\therefore f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \
\
证明成立
\end{align} ]