使用DSP技术进行频率调制（FM）和解调
使用DSP技术进行频率调制（FM）和解调
频率调制（FM）技术与无线通信的发展历史一样长。近几十年来，数字信号处理技术在各个领域迅速发展，甚至改变了传统的模拟调制技术的实现方式。现在，许多FM系统采用离散时间技术构建，取代了以往的传统电路设计。本文将详细介绍如何使用DSP技术进行FM调制和解调。
消息信号
我们从正弦波中频率和瞬时相位之间的关系开始，频率定义为相位的变化率：
这个频率不是恒定不变的，它可以表示为。随着频率的变化，这种关系仍然有效。在我们的场景中，消息信号x(t)可以调制载波正弦波的频率变化。因此，我们有：
要从这里求得相位，我们需要从时间0开始，对上述方程进行积分，初始条件为零：
如果载波波形表示为：
那么，将时变相位引入到上述表达式中，我们可以得到FM信号的波形：
这里的相位是从方程(1)中得到的，并乘以了一个新的因子，即频率偏移常数。
频率偏移
要理解频率偏移的含义，我们来看方程(2)中的瞬时相位表达式：
因此，瞬时频率可以表示为：
这个方程说明瞬时频率是随着消息信号的变化而变化的，这种变化是通过频率偏移来缩放的。当消息信号的幅度达到最大值∣x(t)∣时，频率的最大偏移发生。我们将这个最大值记为，从而得到峰值频率偏移：
峰值频率偏移表示调制后的信号频率与载波频率相比，可以在任一方向上伸展的距离。需要注意的是，这个值取决于频率偏移常数以及输入信号的峰值幅度。
接下来，我们将关注调制指数。
调制指数
设想一个正弦波形状的消息信号，可以表示为：
将这个表达式代入到先前的方程中，我们得到：
在这个表达式中，参数β是调频（FM）调制指数，定义为：
如果我们用消息信号的最大值来缩放这个调制指数，它可以被理解为归一化的频率偏移，这里的归一化是针对消息信号中的最大频率而言的。这就引出了窄带FM和宽带FM的概念，其中较小的调制指数𝛽≪1指的是窄带FM，而较大的β则代表宽带FM。
对于非正弦波信号，FM调制指数可以表示为：
这里B是消息信号x(t)的带宽，是其最大绝对值，在前面的方程中定义。但是，一个FM信号占用的带宽B究竟有多大呢？
FM带宽
FM信号是具有非线性的，因此没有简单的方法来推导其占用的带宽。作为一个近似，Carson规则给出了基于98%带宽占用的FM信号的有效带宽计算方法：
这里的B是消息信号的带宽，β是之前定义的调制指数。消息信号的频谱、消息信号的积分以及调制信号的频谱在下图中展示。
例如，在商业FM广播中，音频信号的最大频率大约是，而峰值频率偏移是75 kHz。根据Carson规则，带宽可以近似计算为：
如果使用调幅（AM）系统来传输相同的信息，所需的带宽仅为音频信号带宽的两倍，也就是30 kHz。尽管在带宽方面不如AM系统，但FM信号具有某些优势，使得带宽的增加是值得的。
通信系统中的噪声对无线信号的幅度影响与频率不同。在AM系统中，噪声引起的幅度变化会在解调后的信号中显现出来，而白噪声在频率上是均匀分布的，不会引起频率的变化。因此，FM信号天生对随机噪声具有免疫性，提供更好的信号保真度，非常适合高质量的广播系统。
由于消息的变化被编码在信号的频率中而不是幅度中，调制信号具有恒定的包络，这使得它可以被高效的非线性放大器传输。
在介绍了连续时间的细节之后，我们可以轻松地将这一过程转化为数字FM调制器。
离散时间实现
方程(1)中的调制阶段是对调制过程的连续时间描述。对于离散时间实现，我们需要在包含频率偏移后对这个信号进行采样：
这里，连续时间的积分已经被离散时间积分器的后向差分形式所替代。下图展示了一个离散时间FM调制器的块图，其中D表示通常写为的单位时间延迟。图中包括了载波信号中的完整瞬时相位，参见方程(3)。查找表（LUT）存储了余弦和正弦函数的值。整个设置构成了用于生成FM信号的数字控制振荡器（NCO）。结合数字模拟转换器（DAC），NCO可以变成一个直接数字合成器（DDS）的实现。
类似于方程(2)，输出y[n]可以表示为在频率处的复指数形式：
下图展示了一个示例FM信号，该信号具有1 kHz的噪声消息信号、2.5 kHz的频率偏移和5 kHz的载波频率（仅显示了实部）。可以观察到调制信号根据消息信号的频率变化而变化。
现在我们来探讨如何使用数字信号处理技术来解调这个信号。
FM解调
为了专注于信号处理操作，我们将方程(6)中的y[n]乘以，并假设等于1以简化问题，从而去除载波项：
剩下的是一个带有来自方程(5)的离散时间相位的复指数。
从这里开始，FM解调技术可以分为三个不同的类别：
- 先微分再获取相位
- 先获取相位再微分
- 锁相环（PLL）
接下来，我们将详细描述每一个类别。
先微分再获取相位
在旧的模拟FM接收器中使用的传统解调技术是对方程(2)中的FM信号y(t)进行微分：
通过直流阻断器后，这个过程将消息信号x(t)呈现为导数（正弦波）信号的包络变化。然后，包络检测器可以跟踪这些变化，在接收端重现x(t)。
在离散域中，这将是解调FM信号的低效方法。但是，可以实施类似于这种技术的方法。为此，考虑下面的块图，其中D表示单位时间延迟，通常表示为$z^{−1} 。
当上述信号与自身延迟并共轭的版本相乘时会发生什么？由于共轭运算会反转相位符号，我们得到：
我们推断出共轭乘法计算相位之间的差值。显然，这是在许多信号处理应用中使用的延迟共轭乘积操作。在幕后，这是离散时间一阶差分微分器的实现。
使用方程(7)中的上述表达式，并通过atan2()操作或atan2()的近似来获取角度，我们可以写为：
这是我们期望的消息信号，它被延迟了一个时间单位，并被缩放。
FM信号的解调波形显示在下图中。需要记住的一个非常重要的步骤是，首先要解开获得的相位，以消除不连续性，以便微分器可以计算正确的值。
虽然这是一个简单的过程，但一阶差分微分器由于噪声过多而受到性能损失。我们将在接下来描述一种改进的FM解调技术。
先获取相位再微分
上述技术首先计算导数（一阶差分），然后获取相位。更好的技术是先获取相位，然后使用更优质的滤波器计算导数。有两种方法可以实现这一目标。
- 考虑方程(7)中的信号z[n]，并通过atan2()操作获取其相位。
如方程(1)中所示，这个相位的导数就是我们期望的消息信号x[n]。在实践中，这个导数是通过一个具有脉冲响应h[n]的导数FIR滤波器来计算的，该脉冲响应可以通过多种技术（见离散时间微分器的设计细节）计算出来。这与信号相位卷积为：
这个程序的块图在下图中绘制。
同样，提取相位后，极其重要的是要解开相位以获得有效的结果。这种技术更适合于FPGA实现，其中CoRDiC例程可以流水线化以实现更快的输出。
- 从数字信号处理器（DSP）实现的角度来看，相位访问和导数操作可以简化如下。
首先用其实部（同相）和虚部（正交）分量表示信号z[n]。
然后相位由下式给出：
使用基本的微积分恒等式，它的导数可以写成：
接下来，我们可以简化上述表达式为：
这产生了我们的最终关系：
这种方法的块图在下图中展示。
注意图中以下几点：
- 没有使用atan2()计算，这在算法中引起了额外的复杂性。
- 和之前的atan2 + 微分方法一样，这里的导数也可以通过FIR滤波器来实现。
- 在这种技术中，至关重要的是要设计一个具有奇数个抽头的FIR微分器。原因是要使两个并行分支中的信号相互对齐，因为长度为N的FIR滤波器的群延迟由下式给出：
具有奇数个抽头时，FIR微分器中的延迟是整数个样本。因此，上面的延迟块仅仅是整数个样本。在实际实现中，从微分器中去除第一和最后一个（N−1）/2个样本，以自动与和对齐。
我们现在转向第三种也是最后一种基于DSP的FM解调方法。
锁相环（PLL）
用于软件定义无线电（SDR）中的载波和时钟同步的离散时间锁相环（PLL）也可以用来解调FM信号。下图展示了这种方法的块图，其中输入信号s[n]可以被替换为我们的输入信号z[n]。就像载波PLL跟踪进入的正弦波的相位和频率一样，同一个PLL可以跟踪FM调制信号的频率，并在此过程中自动执行解调。
上述比例-积分（PI）滤波器中的环路常数可以如在SDR上下文中的PLL所描述的那样计算。这种方法的主要问题是需要一个大型查找表用于直接数字合成（DDS），以存储正弦和余弦样本。
结论
本文描述了三种不同的基于DSP的FM解调方法，即先微分再获取相位、先获取相位再微分以及PLL。atan2()和微分器方法及其导数FIR滤波器在复杂性和输出信噪比（SNR）性能方面提供了最佳结果。要实现FM的数字版本，请参见FSK（频率移键）。