堆的时间复杂度分析

堆的时间复杂度分析

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/2401_82677021/article/details/141727147

堆（Heap）是一种常用的数据结构，广泛应用于算法设计和实际开发中。本文将深入分析堆的建堆过程和堆排序的时间复杂度，帮助读者理解不同建堆方法的效率差异，并总结堆排序的整体时间复杂度。

一、建堆的时间复杂度分析

堆是一颗完全二叉树，满二叉树又是一颗特殊的完全二叉树。

对于满二叉树来说，第一层的节点个数为2^0,第二层的节点个数为2^1,......所以可以得到第h层的节点个数为2^(h-1)。总结点个数N=2^0+2^1+...+2^(h-1)=2^h-1。那么就可以得出高度和节点个数的关系h=log（N+1）。

对于完全二叉树来说，最少情况下是上图中，最后一层只有一个节点，最多情况就是一个满二叉树。最少情况下，N=2^0+2^1+...+2^(h-2)+1=2^(h-1),同样高度和节点个数的关系：h=logN+1;

向上调整建堆和向下调整建堆的算法（内容在上一节中），最坏情况下都是要调整高度次，所以时间复杂度都是O(logN).

二、堆排序的时间复杂度分析

堆排序的大致思路：先将数据建堆（有4，），再将堆顶数据和最后一个数据交换，将除最后一个数据外的剩下数据重新建堆，反复执行，最大或最下的数据就会被放在后面，最后就得到一组有序数据。

//堆排序
void HeapSort(int* a, int n)
{
    //升序，建大堆
    //降序，建小堆
    //向下调整建堆
    //从第一个非叶子节点开始
    for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
    {
        AdjustDown(a, n, i);
    }
    int end = n - 1;
    while (end > 0)
    {
        swap(&a[0], &a[end]);//交换
        AdjustDown(a, end, 0);//重新建堆
        end--;
    }
}  

1. 使用向下调整建堆

可能在只看代码时，会认为一个for循环，加上向下调整算法，时间复杂度是O(N*logN),其实不然，时间复杂度是O(N)。

向下调整建堆的思路：从第一个非叶子节点开始，使用向下调整算法，使它的左右子树都调成大堆或者小堆，依次循环。

时间复杂度分析：

第一层有2^0个节点，每个节点最多向下调整h-1次。

第二层有2^1个节点，每个节点最多向下调整h-2次。

第三层有2^2个节点，每个节点最多向下调整h-3次。

......

第h-1层有2^(h-2)个节点，每个节点最多向下调整1次。

最多需要调整的次数：

F(h)=2^0*(h-1)+2^1*(h-2)+2^2*(h-3)+...+2^(h-2)*1

2F(h)=2^1*(h-1)+2^2*(h-2)+2^3*(h-3)+...+2^(h-1)*1

相减得：F(h)=2^(h-1)+2^1+2^2+...+2^(h-2)-2^0*(h-1)

最后得：F(h)=2^h-1-h，再将h=logN代入：

F(h)=N-1-logN.（N的量级大于logN的量级）

所以向下建堆的时间复杂度为O(N)

2. 使用向上调整建堆

向上调整建堆与向下相比，时间复杂度会更高。

//堆排序
void HeapSort(int* a, int n)
{
    //升序，建大堆
    //降序，建小堆
    //向上调整建堆
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        AdjustUp(a, i);
    }
    int end = n - 1;
    while (end > 0)
    {
        swap(&a[0], &a[end]);
        AdjustDown(a, end, 0);
        end--;
    }
}

向上调整建堆的思路：将第一个数据看成是堆，从第二个数据开始，调用向上建堆算法，入一个数据，调用一次建堆。

时间复杂度分析：（从第二行开始）

第二行2^1个数据，每个数据向上调整1次

第三行2^2个数据，每个数据向上调整2次

......

第h行2^(h-1)个数据，每个数据向上调整h-1次

最多需要调整的次数：T(h)=2^11+2^22+...+2^(h-1)*(h-1)

2T(h)=2^21+2^32+...+2^h*(h-1)

相减得：T(h)=2^h*(h-1)-2^1-（2^2+2^3+...+2^(h-1))

T(h)=2^h*(h-1)-2^h+2

得：T(h)=(N+1)*(log(N+1)-1)-N+1

这个公式看最后一项就可以看出时间复杂度是O(N*logN),因为最后一行有2^(h-1)个节点，占整颗树节点的一半,还要调整h-1次。

3. 比较

其实不难看出，向下建堆过程中，规律是：节点数量多的层调整次数少，节点数量少得层调整次数多。

向上建堆过程就相反，节点数量多的层调整次数多，节点数量少得层调整次数少。

所以向下调整建堆得时间复杂度更低。堆排序中用的也就是向下调整建堆。

4. 重新建堆过程时间复杂度

while (end > 0)
{
    swap(&a[0], &a[end]);
    AdjustDown(a, end, 0);
    end--;
}

该过程是将建好的堆进行调整，交换堆顶数据和最后一个数据，然后将最后一个数据除外，重新形成一个堆，反复执行，使数据变得有序。

时间复杂度分析：

该过程每次都要调整，都是从第一个节点位置开始，N个节点，最多调整logN次，在加上一次循环，最多调整N*logN次。

该过程的时间复杂度是O(N*logN)

堆排序的时间复杂度为：O(NlogN)+O(N), 其中NlogN的量级更大

总结：堆排序的时间复杂度为O(N*logN)