最小二乘法-超详细推导（转换为矩阵乘法推导，矩阵求导推导）

最小二乘法-超详细推导（转换为矩阵乘法推导，矩阵求导推导）

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/qq_37040743/article/details/139213572

最小二乘法是一种常用的优化方法，广泛应用于机器学习和数据分析领域。其基本思想是通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。本文将详细介绍最小二乘法的矩阵形式推导过程，帮助读者深入理解这一重要算法。

最小二乘法的核心目标是让均方误差最小。下面将详细解释如何将损失函数转换为矩阵形式，并通过矩阵求导找到最优解。

为了让均方误差最小，我们需要找到导数为0的点，因为在这个点上函数可能取得极值。对于均方误差来说，它是一个凹函数，因此导数为0的点即为最小值点。

在推导过程中，我们主要关注参数θ的求导，因为x是我们已知的数据，而θ是我们需要求解的参数。通过矩阵运算和求导，我们可以得到最小二乘法的最优解。

推导过程详解

为了更好地理解矩阵形式的推导，我们先来看一个具体的例子：

假设我们有以下损失函数：

这个式子中共有4项，最后一项不含θ，所以求导为0，我们主要关注前3项的求导过程。

矩阵求导

在最小二乘法中，我们通常将损失函数表示为矩阵形式：

其中，X是数据矩阵，y是观测值向量，θ是参数向量。为了找到使损失函数最小的θ，我们需要对θ求导，并令导数等于0。

通过矩阵求导，我们可以得到：

解这个方程，就可以得到最小二乘法的最优解：

这个解就是使均方误差最小的参数θ。

总结

通过上述推导过程，我们可以看到最小二乘法的核心思想是通过矩阵运算和求导，找到使均方误差最小的参数θ。这种方法在机器学习和数据分析中有着广泛的应用，例如线性回归模型的参数估计。

为了更好地理解最小二乘法的矩阵形式推导，建议读者先学习线性代数中的矩阵运算和求导知识。这将有助于你更深入地理解这一重要的优化方法。