挂谷猜想：如何在最小区域内旋转一根针？
挂谷猜想：如何在最小区域内旋转一根针？
挂谷猜想（Kakeya's needle problem）是一个经典的数学问题，它探讨了如何在最小区域内实现一根长度为1的针旋转180度。这个问题看似简单，却蕴含着深刻的数学原理。让我们通过一个无人驾驶汽车调头的场景，来探索这个有趣的数学问题。
图源：Robert Neubecker|Quanta
想象一下，你正坐在一辆上街行驶的无人驾驶汽车上，看到前方有点问题。一名亚马逊送货司机的货车驶过一辆并排停放的UPS卡车时，发现自己无法通过。现在他们被困住了。而你也是。
街道太窄，无法调头（U-ey），因此你的人工智能增强型汽车会启动三点转弯。首先，汽车沿着一条弯曲的路径驶向一个路边。一旦到达之后，它就会转向另一个方向并倒回到对面的路边。然后，它将方向盘朝第一个弯曲路径的方向转回来，向前行驶并远离障碍物。
三点转弯调头
图源：Merrill Sherman|Quanta
这种简单的中间转弯几何算法可以帮助你在紧张的情况下绕过。（如果你曾经平行停车，你就会知道这种来回摆动可以为你带来什么。）
五点转弯调头
图源：Merrill Sherman|Quanta
这里有一个有趣的数学问题，你需要多少空间来让你的汽车调头，100多年来，数学家们一直在研究这个问题的理想化版本。它始于1917年，当时日本数学家挂谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）提出了一个看起来有点像我们的交通拥堵的问题。
假设你有一根长度为1的无限细的针。将针旋转180度并将其返回到原始位置的最小区域的面积是多少？这被称为挂谷针问题（Kakeya’s needle problem），数学家们仍在研究它的变体。让我们看一下使挂谷针问题如此有趣和令人惊讶的简单几何。
与许多数学问题一样，这个问题涉及一些简化的假设，使其不太现实，但更易于驾驭。
例如，当你开车时，汽车的长度和宽度很重要，但我们假设针的长度为1，宽度为0。（这意味着针本身的面积为零，这对于我们解决问题起着重要作用。）此外，我们假设针与汽车不同，可以绕其前端、后端或之间的任何点旋转。
目标是找到允许针旋转180度的最小区域。找到满足一组特定条件的最小的东西可能具有挑战性，但一个好的开始方法是寻找满足这些条件的任何东西，并看看在此过程中你可以学到什么。
例如，一个简单的答案是只需将针绕其终点旋转180度，然后将其向上滑动即可。这会将针返回到其原始位置，但它现在指向相反的方向，正如挂谷针问题所要求的那样。
转弯所需的区域是半径为1的半圆，其面积为A=½πr²=½π(1)²=½π=π/2 。所以我们找到了一个有效的区域。
利用神奇的数学针绕任意点旋转的能力，我们可以做得更好。我们不围绕端点旋转它，而是围绕中点旋转它。
你可以称之为挂屋指南针：我们的指针一开始指向北方，但旋转后它在同一位置但指向南方。该区域是一个半径为½的圆，因此其面积为A=πr²=π(½)²=π¼=π/4 。这是我们第一次找到的区域面积的一半，所以我们正在取得进步。
接下来该去向何处呢？我们可以从无人驾驶汽车的困境中获得灵感，并考虑使用诸如三点转向之类的指针。这实际上效果很好。
使用这种技术针扫过的区域称为deltoid（三角旋轮线），它也满足挂谷问题的要求。
计算其面积需要的不仅仅是我们在这里讨论的基本几何（参数曲线的知识会有所帮助），但事实证明，这个特定三角旋轮线的面积（被长度为1的线段扫过）恰好是π/8 。
现在我们有一个更小的区域可以扭转挂谷的局面，你可能会认为这是我们能做的最好的。挂谷自己也认为可能是这样。
但当俄罗斯数学家艾布拉姆·贝西科维奇（Abram Besicovitch）发现你可以做得更好时，这个针问题发生了巨大的转变。他想出了一个程序来削减该区域不必要的部分，直到它像他想要的那样小。
这个过程技术性强且复杂，但基于贝西科维奇想法的一种策略依赖于两个简单的想法。首先，考虑下面的等腰直角三角形，高为1，底为2。
此刻我们忘记完全转动针，而只关注一个简单的事实：如果我们将一根长度为1的针放在三角形顶部顶点，则三角形足够大到让针旋转完整的90度，即从三角形的一条（直角）边到另一条（直角）边的度数。
由于三角形的面积为A=½bh ，因此该三角形的面积为A=½×2×1=1 。
现在，这有第一个重要的想法：
我们可以在保留90度旋转的同时减少该区域的面积。策略很简单：我们将三角形从中间切开，然后将两半推到一起。
这个新图形的面积必定小于原图形，因为现在三角形的一部分重叠了。实际上，很容易计算这个图形的面积：它只是边长为1的正方形的四分之三，因此面积是A=¾ ，小于我们刚开始的三角形面积。
我们仍然可以将针指向与以前相同的方向。只有一个问题：原来的角已被分成两部分，因此这些方向现在被分为两个单独的区域。
如果指针位于新区域的左侧，我们可以将其在正南（正下方）和东南（右下方）之间旋转45度；如果它在右侧，我们可以将其在正南（正下方）和西南（左下方）之间旋转45度。但由于这两个部分是分开的，我们似乎无法像以前那样将其旋转完整的90度。
这就是第二个重要想法的用武之地：
有一种偷偷摸摸的方法可以将针从一侧移动到另一侧，并且不需要太多的面积。在象棋中，你可能知道马的走法是L字形。好吧，我们的针将以N字形（顺时针旋转90°的Z字形）移动。
这是如何完成的方法：
首先，指针沿着N的一侧向上滑动。然后它旋转到沿对角线的指向，然后向下滑动。然后它再次旋转，并通过沿着N的另一侧向上滑动来完成其行程。
起初，这种N字形移动看起来可能不多，但是它非常有用。
它允许针头从一条平行线“跳”到另一条线，这将有助于我们将针从一个区域转到另一个区域。
更重要的是，它不需要很多面积。实际上，你可以使它需要尽可能小的面积。原因如下：
回想一下我们的针的宽度为零。因此，针头向前或向后移动的任何线段将具有零面积。这意味着将针头向上，向下或沿对角线在N字形上移动的区域将由零面积的部分组成。
这样就只剩下N字形角上的旋转。
这些移动确实需要面积。你可以在每个角上看到圆形中的一个小扇形。但这里有一个隐秘的机关：你可以通过拉长N字形来缩小这些区域。
圆扇形面积的公式为A=(θ/360)πr² ，其中θ是扇形角度。无论N字形有多高，扇形的半径始终为1：因为这是针的长度。
但随着N字形变高，角度θ会缩小，这会减少扇形的面积。因此，你可以根据需要通过拉伸N字形来使额外面积尽可能小。
请记住，我们可以通过将三角形区域分成两部分并使各部分重叠来减少面积。问题在于，这将90度角分成了两个独立的部分，导致我们无法将针旋转完整的90度。现在我们可以通过添加适当的N字形来解决这个问题，以确保针有从一条边到达另一条边的路径。
在这个更新过的区域中，针头仍然可以像以前一样旋转整个90度，只不过现在分两个阶段进行。首先，针头旋转45度，并与左侧的垂直边缘对齐。接下来，它沿着N字形（下图绿色虚线）移动到另一条边。一旦到达（右侧边缘顶点）之后，它就可以自由转动另一个45度。
这样移动会让针头旋转90度（45度+45度），并且为让它保持转动，你只需添加该区域的旋转副本（见下图绿色）即可。
通过添加适当的N字形，针可以从一个三角形半岛跳到另一个三角形，然后一点一点地转动，直到它转完一周，就像一辆执行三点转弯调头的汽车一样。
细节中还有更复杂的数学知识，但这两个想法 —— 我们可以通过切割和移动来不断减少原始区域的面积，同时确保我们可以使用任意小的N字形从一个部分到达另一个部分 —— 帮助我们在不断缩小的区域中移动针头，最终可以达到所想要的小区域。
建立这类区域的一种更标准的方法始于等边三角形，并使用“Perron树”，这是将三角形切成薄片伸展并将薄片放回原处的巧妙方法。结果非常令人惊叹。
*最近，数学家在这个老问题的新变体上取得了进展 https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/ ，这些变体设置在更高的维度和不同的大小概念（测度measure）上。*
我们可能永远不会看到人工智能驱动的汽车走出挂谷针尖般的转弯轨迹，但我们仍然可以欣赏它近乎虚无的美丽和简单。
练习
- 用作挂谷针集的最小等边三角形的面积是多少？
- 通过使用“鲁洛Reuleaux三角形”，你可以比练习1中的等边三角形做得更好一点，“鲁洛三角形”是由三个重叠的圆扇形形成的区域。有效的最小鲁洛三角形的面积是多少？
答案
练习1答案：
一个高为1的等边三角形的空间足以容纳在顶点上的针头，可以从一条边摆动到另一条边。一旦在边上，它可以滑到另一个顶点，旋转并继续其旅程，直到返回其起始位置并指向相反方向。
边长s的等边三角形的面积为A=√3s²/4，你可以使用三角学或勾股定理来确定高为1的等边三角形的边长为2/√3 。
因此，所求面积A=√3/4×(2/√3)² = √3/4×4/3 = √3/3。
或者使用三角形面积公式
A=½bh=1/2 × 2/√3 × 1 = 1/√3 = √3/3
练习2答案：
取三个扇形，每个扇形的半径为1，角度为60度，然后排列它们，使它们均重叠一个边长为1的等边三角形。
该区域允许长度为1的针完全旋转。将三个扇形的面积相加就使得重叠三角形面积被算了3次，因此总面积是三个扇形面积之和减去两倍重叠三角形的面积：3(⅙π1²)–2(√3/4×1²)=π/2–√3/2≈0.705 。
提示：其中在计算三个扇形面积之和时，也可以直接将三个（60度）扇形面积之和看成半圆面积½π1²=π/2 。
参考资料
https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-moves-the-needle-20230929/
https://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set