定积分的换元积分法和分部积分法详解

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定积分的换元积分法和分部积分法详解

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来源

https://m.renrendoc.com/paper/380307831.html

定积分的计算是高等数学中的重要内容，其中换元积分法和分部积分法是最常用的两种方法。本文将详细介绍这两种方法的理论基础和具体应用，帮助读者掌握定积分的计算技巧。

一、定积分的换元法

在使用换元法计算不定积分时，我们通常不需要考虑原变量(x)与新变量(t)的取值范围。然而，在计算定积分时，原积分变量(x)与新变量(t)的变化区间会有所不同，即积分区间会随之改变。这就要求新的积分区间应该是唯一的，因此代换函数(x=\varphi(t))必须具有连续导数且反函数有单调性。

定理1

设(f(x))在([a,b])上连续，函数(x=\varphi(t))满足：

(\varphi(\alpha)=a)，(\varphi(\beta)=b)；
(\varphi(t))在([\alpha,\beta])或([\beta,\alpha])上具有连续导数且值域为([a,b])，
则有
[
\int_a^b f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt
]

可以看出：我们只要计算在新的积分变量下，新的被积函数在新的积分区间的积分值，从而避免了积分后新变量要代回到原变量的麻烦。

证明

如果(\int f(x)dx = F(x) + C)，则
[
\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt = F[\varphi(t)] + C
]
于是
[
\int_a^b f(x)dx = F[\varphi(\beta)] - F[\varphi(\alpha)] = \int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt
]

注意事项

定积分的换元与不定积分的换元的不同之处在于：定积分在换元之后，积分上、下限也要作相应的变换，即“换元必换限”，并且换元之后不必回代；
由(\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b)确定的(\alpha,\beta)，可能(\alpha>\beta)，也可能(\alpha<\beta)。但对新变量(t)的积分来说，一定是(\alpha)对应于(x=a)的位置，(\beta)对应于(x=b)的位置。

例题

【例1】计算(\int_0^1 x^2 dx)

【例2】计算(\int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx)

【例3】计算(\int_0^1 x^3 dx)

【例4】计算(\int_0^1 x^4 dx)

【例5】计算(\int_0^1 x^5 dx)

【例6】计算(\int_0^1 x^6 dx)

【例7】计算(\int_0^1 x^7 dx)

【例8】计算(\int_0^1 x^8 dx)

【例9】计算(\int_0^1 x^9 dx)

二、定积分的分部积分法

设(u=u(x))，(v=v(x))在区间([a,b])上有连续的导数，则
[
(uv)' = u'v + uv'
]
即
[
uv' = (uv)' - u'v
]
等式两端取(x)由(a)到(b)的积分，即得
[
\int_a^b uv'dx = uv|_a^b - \int_a^b u'vdx
]
或写为
[
\int_a^b u dv = uv|_a^b - \int_a^b v du
]
上述两式称为定积分的分部积分法。由不定积分和定积分的分部积分公式可看出，定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法类似，只要注意计算定积分的积分上限与积分下限原函数值的差即可。