高等数学 3.7 曲率
高等数学 3.7 曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的重要概念，在高等数学中占据重要地位。本文将从弧微分开始，逐步介绍曲率的定义、计算方法，以及曲率圆和曲率半径的概念。最后还将讨论曲率中心的计算公式以及渐屈线和渐伸线的概念。
一、弧微分
设函数(f(x))在区间((a, b))内具有连续导数。在曲线(y = f(x))上取固定点(M_0 (x_0, y_0))作为度两户唱的基点，并规定依(x)增大的方向为曲线的正向。对曲线上任一点(M (x, y))，规定有向弧段(\overset{\LARGE{\frown}}{M_0 M})的值(s)（简称为弧(s)）如下：(s)的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段(\overset{\LARGE{\frown}}{M_0 M})的方向与曲线的正向一致时(s > 0)，相反时(s < 0)。显然，弧(s)与(x)存在函数关系(s = s(x))，而且(s(x))是(x)的单调增加函数。
设(x, x + \Delta x)为((a, b))内两个邻近的点，它们在曲线(y = f(x))上的对应点为(M, M')，并设对应于(x)的增量为(\Delta x)，弧(s)的增量为(\Delta s)，那么
[\Delta s = \overset{\LARGE{\frown}}{M_0 M'} - \overset{\LARGE{\frown}}{M_0 M} = \overset{\LARGE{\frown}}{M M'} ]
于是
[\begin{align*} \left( \cfrac{\Delta s}{\Delta x} \right)^2 &= \left( \cfrac{\overset{\LARGE{\frown}}{M M'}}{\Delta x} \right) = \left( \cfrac{\overset{\LARGE{\frown}}{M M'}}{|M M'|} \right)^2 \cdot \cfrac{|M M'|^2}{(\Delta x)^2} \ &= \left( \cfrac{\overset{\LARGE{\frown}}{M M'}}{|M M'|} \right)^2 \cdot \cfrac{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}{(\Delta x)^2} = \left( \cfrac{\overset{\LARGE{\frown}}{M M'}}{|M M'|} \right)^2 \left[ 1 + \left( \cfrac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2 \right], \ \cfrac{\Delta s}{\Delta x} &= \pm \sqrt{\left( \cfrac{\overset{\LARGE{\frown}}{M M'}}{|M M'|} \right)^2 \left[ 1 + \left( \cfrac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2 \right]} \end{align*} ]
令(\Delta x \to 0)，取极限，由于(\Delta x \to 0)时，(M' \to M)，这时弧的长度与弦的长度之比的极限等于1，即
[\lim_{M' \to M} \cfrac{|\overset{\LARGE{\frown}}{M M'}|}{|M M'|} = 1 ]
又
[\lim_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = y' , ]
因此得
[\cfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x} = \pm \sqrt{1 + y'^2} ]
由于(s = s(x))是单调增加函数，从而根号前应取正号，于是有
[\mathrm{d}s = \sqrt{1 + y'^2} \mathrm{d}x . \tag{1} ]
这就是弧微分公式。
二、曲率及其计算
设曲线(C)是光滑的，在曲线(C)上选定一点(M_0)作为度量弧(s)的基点。设曲线上点(M)对应于弧(s)，在点(M)处切线的倾角为(\alpha)（这里假定曲线(C)所在的平面上已设立了(xOy)坐标系），曲线上另外一点(M')对应于弧(s + \Delta s)，在点(M')处切线的倾角为(\alpha + \Delta \alpha)，则弧段(\overset{\LARGE{\frown}}{M M'})的长度为(\Delta s)，当动点从点(M)移动到点(M')时切线转过的角度为(|\Delta \alpha|)。
我们用比值(\left| \cfrac{\Delta \alpha}{\Delta s} \right|)，即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段(\overset{\LARGE{\frown}}{M M'})的弯曲程度，把这比值叫做弧段(\overset{\LARGE{\frown}}{M M'})的平均曲率，并记作(\overline{K})，即
[\overline{K} = \left| \cfrac{\Delta \alpha}{\Delta s} \right| . ]
类似于从平均速度引进瞬时速度的方法，当(\Delta s \to 0)时（即(M' \to M)），上述平均曲率的极限叫做曲线(C)在点(M)处的曲率，即
[K = \lim_{\Delta x \to 0} \left| \cfrac{\Delta \alpha}{\Delta s} \right| . ]
在(\lim \limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta \alpha}{\Delta s} = \cfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s})存在的条件下，(K)也可以表示为
[K = \left| \cfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s} \right| . \tag{2} ]
对于直线来说，切线与直线本身重合，当点沿直线移动时，切线的倾角(\alpha)不变，(\Delta \alpha = 0)，(\cfrac{\Delta \alpha}{\Delta s} = 0)，从而(K = \left| \cfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s} \right| = 0)。这就是说，直线上任意点(M)处的曲率都等于零。
设圆的半径为(a)，由图可见圆在点(M, M')处的切线所夹的角(\Delta \alpha)等于圆心角(MDM')。但(\angle MDM' = \cfrac{\Delta s}{a})，于是
[\cfrac{\Delta \alpha}{\Delta s} = \cfrac{\frac{\Delta s}{a}}{\Delta s} = \cfrac{1}{a} , ]
从而
[K = \left| \cfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s} \right| = \cfrac{1}{a} . ]
因为点(M)是圆上任意取定的一点，上述结论表示圆上各点处的曲率都等于半径(a)的倒数(\cfrac{1}{a})，这就是说，圆的弯曲程度到处都一样，且半径越小曲率越大，即圆弯曲得越厉害。
在一般情况下，我们根据((2))式来推导出便于实际计算曲率的公式。
设曲线的直角坐标方程是(y = f(x))，且(f(x))具有二阶导数（这时(f'(x))连续，从而曲线是光滑的）。因为(\tan \alpha = y')，所以
[\sec^2 \alpha \cfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}x} = y'' , \ \cfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}x} = \cfrac{y''}{1 + \tan^2 \alpha} = \cfrac{y''}{1 + y'^2} , ]
于是
[\mathrm{d} \alpha = \cfrac{y''}{1 + y'^2} \mathrm{d}x . ]
又由((1))知道
[\mathrm{d}s = \sqrt{1 + y'^2} \mathrm{d}x . ]
从而根据曲率(K)的表达式((3))，有
[K = \cfrac{|y''|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}} . \tag{3} ]
设曲线由参数方程
[\begin{cases} x = \varphi (t) , \ y = \psi (t) \end{cases} ]
给出，则可利用参数方程所确定的函数的求导法则，求出(y'_x)及(y''_x)，代入 (3) 得
[K = \cfrac{|\varphi' (t) \psi'' (t) - \varphi'' (t) \psi' (t)|}{[\varphi'^2 (t) + \psi'^2 (t)]^{\frac{3}{2}}} . \tag{4} ]
三、曲率圆与曲率半径
设曲线(y = f(x))在点(M(x, y))处的曲率为(K(K \neq 0))。在点(M)处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点(D)，使(|DM| = \cfrac{1}{K} = \rho)。以(D)为圆心，(\rho)为半径作圆，这个圆叫做曲线在点(M)处的曲率圆，曲率圆的圆心(D)叫做曲线在点(M)处的曲率中心，曲率圆的半径(\rho)叫做曲线在点(M)处的曲率半径。
按上述规定可知，曲率圆与曲线在点(M)有相同的切线和曲率，且在点(M)邻近有相同的凹向。因此在实际问题中，常常用曲率圆在点(M)邻近的一段圆弧来近似代替曲线弧，使问题简化。
按上述规定，曲线在点(M)处的曲率(K(K \neq 0))与曲线在点(M)处的曲率半径(\rho)有如下关系：
[\rho = \cfrac{1}{K} , \quad K = \cfrac{1}{\rho} . ]
四、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线
设已知曲线的方程是(y = f(x))，且其二阶导数(y'')在点(x)不为零，则曲线在对应点(M(x, y))的曲率中心(D(\alpha, \beta))的坐标为
[\begin{cases} \alpha = x - \cfrac{y'(1 + y'^2)}{y''} , \ \beta = y + \cfrac{1 + y'^2}{y''} . \end{cases} \tag{5} ]
当点((x, f(x)))沿曲线(C)移动时，相应的曲率中心(D)的轨迹曲线(G)称为曲线(C)的渐屈线，而曲线(C)称为曲线(G)的渐伸线。所以曲线(y = f(x))的渐屈线的参数方程为
[\begin{cases} \alpha = x - \cfrac{y'(1 + y'^2)}{y''} , \ \beta = y + \cfrac{1 + y'^2}{y''} . \end{cases} \tag{6} ]
其中(y = f(x), y' = f'(x), y'' = f''(x))，(x)为参数，直角坐标系(\alpha O \beta)与(xOy)坐标系重合。