深入浅出通信原理 | 傅里叶变换的特性：对称性、时移特性、卷积特性
深入浅出通信原理 | 傅里叶变换的特性：对称性、时移特性、卷积特性
傅里叶变换是信号处理和通信工程中的重要工具，其特性对于理解信号在时域和频域之间的转换关系至关重要。本文将深入浅出地介绍傅里叶变换的三个主要特性：对称性、时移特性和卷积特性。
一、傅里叶变换的对称性
傅里叶变换的对称性可以表述为：若函数(x(t))的傅里叶变换是(y(f))，则(y(t))的傅里叶变换是(x(-f))。
以直流信号的傅里叶变换和冲激信号的傅里叶变换为例，幅值为1的直流信号的傅里叶变换是单位冲激函数；单位冲激函数的傅里叶变换是常数1。
再以矩形脉冲信号的傅里叶变换和sinc脉冲信号的傅里叶变换为例，矩形脉冲信号的傅里叶变换是sinc脉冲信号；sinc脉冲信号的傅里叶变换是矩形脉冲信号。
二、傅里叶变换的时移特性
信号(x(t))在时域中延迟(t_0)等价于在频域中乘以因子，这就是傅里叶变换的时移特性。也就是说，时域延迟等价于频域旋转。
若信号(x(t-t_0))由(x(t))延迟(t_0)时间得到，时移特性的公式如下：
将(x(t))的频谱旋转，可得到(x(t-t_0))的频谱。将(f>0)部分顺时针旋转，将(f<0)部分逆时针旋转，且旋转的角度大小为(|2\pi ft_0|)，与频率(f)成正比。
矩形脉冲信号(x(t))及其延迟信号(x(t-t_0))，其中脉冲宽度(\tau=1)，时间延迟(t_0=0.1)
矩形脉冲信号(x(t))的傅里叶变换和频谱
矩形脉冲延迟信号(x(t-t_0))的傅里叶变换和频谱
正频率部分频谱发生顺时针旋转，负频率部分频谱发生逆时针旋转，频率越高旋转的角度越大。
三、傅里叶变换的卷积特性
1. 频域卷积定理
时域相乘相当于频域卷积。对于两个周期信号，时域相乘相当于频域卷积。
设有两个周期信号(f(t))和(g(t))：
[f(t)=e^{j2\omega t}+5e^{j\omega t}+6，其傅里叶系数为：[1,5,6]]
[g(t)=3e^{j\omega t}+2，其傅里叶系数为：[3,2]]
(f(t))和(g(t))的乘积为：
[y(t)=f(t)g(t)=3e^{j3\omega t}+17e^{j2\omega t}+28e^{j\omega t}+12]
(y(t))信号的傅里叶系数不需要先在时域做相乘运算，再求傅里叶系数，可以直接用 (f(t))和(g(t))周期信号的傅里叶系数的卷积计算出来：
[[3,17,28,12]=[1,5,6][3,2]，其中表示卷积。]
2. 离散序列的卷积
任意两个序列(x[n])和(y[n])的卷积为：
[z[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]y[n-k]]
具体过程包括：反褶、平移、相乘、求和。
3. 连续序列的卷积
将两个连续函数的卷积称为卷积积分，计算过程为反褶—平移—相乘—积分。
设有两个连续函数(X(f))和(Y(f))，其表达式为：
[X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt]
[Y(f)=\int_{-\infty}^{\infty}y(t)e^{-j2\pi ft}dt]
其图形如下：
其卷积为：
[Z(f)=X(f)*Y(f)=\int_{-\infty}^{\infty}X(\tau)Y(f-\tau)d\tau]
反褶，将(Y(\tau))反褶，得到(Y(-\tau))
平移，将(Y(-\tau))平移(f)，得到(Y(f-\tau))。
相乘，将(X(\tau)\times Y(f-\tau))。
积分，其实也就是(X(\tau)\times Y(f-\tau))中两函数图形的交叉面积。