数学之美：几何视角下的高斯积分(Gaussian Integral)

数学之美：几何视角下的高斯积分(Gaussian Integral)

高斯积分是数学中最美丽的积分之一，其结果出人意料地与圆周率π紧密相连。本文将从多个角度深入探讨高斯积分的求解方法及其背后的数学之美。

从之前的文章正态分布(Normal Distribution)公式为什么长这样？和从最小二乘法到正态分布：高斯是如何找到失踪的谷神星的？，我们使用了(2)种不同的方法最终得到了如下公式((1))所示的误差的概率密度函数 ((\text{Probability Density Function})) ：
[ f(x) = \mathrm{e}^{-cx^2}, , c > 0 \tag{1} \label{1} ]
其函数图像如下图 1 所示的钟形曲线 ((\text{Bell Curve})) ：

图1. 钟形曲曲线

在概率论中，我们需要保证上图 1 中(f(x))和(x)轴围成的面积是(1), 即：
[ \int_{- \infty}^{+ \infty} f(x) \mathrm{d}x = 1 \tag{2} \label{2} ]
最终我们得到了正态分布 ((\text{Normal Distribution})) 的公式如下所示：
[ f(x) = {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2 \pi }}}};e^{-{\frac {\left(x - \mu \right)^{2}}{2 \sigma ^{2}}}} \tag{3} \label{3} ]
上式中有一个(\pi)，用费曼((\text{Richard Feynman}))的话来说，当我们看到一个公式中存在(\pi)时，我们都要问自己“Where is the cycle?”。我们知道公式(\eqref{3})中的归一化系数(\dfrac {1}{\sigma {\sqrt {2 \pi }}})是为了保证(f(x))下的面积为(1)，出现(\pi)是因为高斯积分 ((\text{Gaussian Integral})) 的结果为(\sqrt{\pi})。
那么什么是高斯积分呢？高斯积分和圆有什么关系呢？

什么是高斯积分？

高斯积分是数学王子高斯 ((\text{Carl Friedrich Gauss})) 名字命名，和正态分布密切相关，对高斯函数 ((\text{Gauss function})) ，也就是正态分布的概率密度函数在整个实数域进行积分，即(\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} ,\mathrm{d}{x})，如下图 2 所示：

图2. 高斯积分 ((\text{ Gaussian Integral}))

初看(\int e^{-x^2} \mathrm{d}{x})，你可能会觉得用分部积分可以求解原函数吧！一顿操作猛如虎之后，发现根本就计算不出来。

图3. 高斯积分的原函数

因为高斯积分在初等函数范围内是不可积的，其原函数无法用初等函数来表示，如下公式所示：
[ F(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2} \mathrm{d}t \tag{4} \label{4} ]
好在早有天才数学家用天才的解法得到了高斯积分的值为(\sqrt{\pi})，如下图 4 所示：
[ \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} ,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\pi} \tag{5} \label{5} ]
图4. 高斯积分的值

高斯积分看起来和圆没有任何关系，但结果中却出现了(\pi)，那圆在哪里呢？
求解高斯积分有很多种解法，均来自天才数学家的天才想法。这里我们将介绍(3)种方法，第一种是常见的直角坐标系转为极坐标系法，另外(2)种来自3Blue1Brown的视频Why π is in the normal distribution (beyond integral tricks)，都非常优雅且直观，下面就让我们沉浸在数学的海洋里吧，感受数学的美！

极坐标系法

我们设(I)表示高斯积分的值：
[ I = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} ,\mathrm{d}{x} \tag{6} \label{6} ]
因为定积分是一个数，与被积函数的自变量无关，简单换下元则有：
[ I = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-y^2} ,\mathrm{d}{y} \tag{7} \label{7} ]
二者相乘，则对高斯积分进行了升维，得到(I^2)：
[ \begin{aligned} I^2 & = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} ,\mathrm{d}{x} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-y^2} ,\mathrm{d}{y} \ & = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-(x^2 + y^2)} ,\mathrm{d}{x} ,\mathrm{d}{y} \end{aligned} ]

转换坐标系

下面我们从直角坐标系 ((\text{Cartesian coordinates})) 转换为极坐标系 ((\text{Polar coordinates})) ，则有：
[ \begin{cases} x = r \cos \theta \ y = r \sin \theta \end{cases} ]
在直角坐标系中，我们的积分区域是：
[ \begin{cases} -\infty < x < \infty \ -\infty < y < \infty \end{cases} ]
图5. 笛卡尔坐标系

转换为极坐标系之后，积分区域变为：

图6. 极坐标系

[ \begin{cases} 0< r < \infty \ 0< \theta < 2 \pi \end{cases} ]

为什么(\mathrm{d}x \mathrm{d}y = r \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta)？

在直角坐标系中，面积微元(\mathrm{d} \sigma = \mathrm{d}x \mathrm{d}y)，而在极坐标系中，其面积微元如下图 7 所示：

图7. 极坐标系中的无穷小

计算其面积：
[ \begin{aligned} \mathrm{d} \sigma & = \frac{1}{2}\left(r + \mathrm{d}r \right)^2\cdot \mathrm{d}\theta - \frac{1}{2}r^2\cdot \mathrm{d}\theta \ & = \frac{1}{2}\left[r^2 + 2r \mathrm{d}r + \left(\mathrm{d} r\right)^2-r^2\right] \mathrm{d}\theta \ & = \frac{1}{2}\left[2r \mathrm{d} r + \left(\mathrm{d} r \right)^2 \right] \cdot \mathrm{d}\theta \end{aligned} ]
因为((\mathrm{d}r)^2)是(2r\mathrm{d}r)的高阶无穷小，故有：
[ \mathrm{d} \sigma = \frac{1}{2}(2r \mathrm{d}r) \mathrm{d}\theta = r \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta ]
所以：
[ \mathrm{d}x \mathrm{d}y = r \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta ]

求解积分

在极坐标系中，(r^2 = x^2 + y^2)，则有：
[ \begin{aligned} I^2 & = \int_0^{2\pi} \int_0^{+\infty} \mathrm{e} ^{-r^2} r ,\mathrm{d}{r} ,\mathrm{d}{\theta} \ & = \int_{\theta = 0}^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \int_{r=0}^{\infty} \mathrm{e} ^{-r^2} r ,\mathrm{d}{r} \ & = 2 \pi \int_0^{+\infty} r \mathrm{e} ^{-r^2} ,\mathrm{d}{r} \end{aligned} ]
令(u = r^2)，则有：
[ \mathrm{d}u = 2r \mathrm{d}{r} ]
[ r \mathrm{d}r = \frac{1}{2}\mathrm{d}u ]
根据微积分基本定理易得：
[ \begin{aligned} I^2 & = \pi \int_0^{+\infty} \mathrm{e} ^{-u} ,\mathrm{d}{u} \ & = \pi \left (-\mathrm{e} ^{-u}) \right\rvert 0^{+\infty} \ & = \pi \end{aligned} ]
开方，最终我们求出了高斯积分的值：
[ I = \int{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} ,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\pi} ]

3D 钟形曲面下的体积

转换为极坐标法是常用的求高斯积分的方法，尤其是对高斯积分升维更是神来之笔，那么升维之后的高斯函数是什么样的呢？
(1)维的高斯函数为：
[ f_1(x) = \mathrm{e}^{-x^2} ]
那么(2)维的高斯函数则为：
[ f_2(x, y) = \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{e}^{-y^2} = \mathrm{e}^{- (x^2 + y^2)} ]
(1)维的高斯函数表现为钟形曲线，(2)维的高斯函数则是(1)维的高斯函数沿着(z)轴旋转，如下图 8 所示：

图8. 钟形曲线沿(z)轴旋转

钟形曲线绕(z)轴旋转一周会形成(3)维的钟形曲面，如下图 9 所示：

图9. 3 维钟形曲面

对于钟形曲面上的任意点(P(x, y))，其距离 z 轴的距离(r = x^2 + y^2)， 如下图 10 所示：

图10. 钟形曲面上点(P(x, y))

很明显，(3)维钟形曲面满足径向对称性，到了这里圆出现了！
(2)维的高斯函数表达式也可以写成：
[ f_2(x, y) = \mathrm{e}^{-r^2} ]

图11. 3 维钟形曲面满足径向对称性

求解(2)维的高斯函数，很明显就是求解这个(3)维钟形体积。考虑如下图 12 所示的同心圆筒，其周长为(2 \pi r)，高为(\mathrm{e}^{-r^2})，厚度为(\mathrm{d}r)，则其体积为：
[ \mathrm{d}V = 2 \pi r \mathrm{e}^{-r^2}\mathrm{d}r ]
图12. 同心圆筒体积

对其积分可得：
[ \begin{aligned} \mathbb{V} & = \int_0^{+\infty} \mathrm{d}V \ & = \int_0^{+\infty} 2 \pi r \mathrm{e}^{-r^2}\mathrm{d}r \ & = \pi \int_0^{+\infty} 2r \mathrm{e}^{-r^2}\mathrm{d}r \ & = \pi \left (-e^{-\infty^2} -(-e^0) \right ) \ & = \pi \end{aligned} ]

沿着(y)轴方向进行切片

我们通过对高斯积分进行升维得到了一个(2)维高斯曲面，如果我们沿着平行(y)轴方向对其进行切片，如下图 13 所示：

图13. 沿着平行(y)轴方向切片

我们可以得到了一系列切片，而每个切片都是钟形曲线，如下图 14 所示就是(y = 0)时形成的钟形曲线，此时就是：
[ f_2(x, y) = \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{e}^{-y^2} = \mathrm{e}^{-x^2} ]

图14. 切片是钟形曲线

而所有的切片都可以理解为钟形曲线乘以某个比例常数进行放缩，如下图 15 所示：

图15. 钟形曲线按照某个比例常数进行放缩

那么每个切片的面积就是：
[ S = \mathrm{e}^{-x^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-y^2} ,\mathrm{d}{y} ]
每个切片的体积微元则为：
[ \mathrm{d}V = \mathrm{e}^{-y^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} ,\mathrm{d}{x} ]
对体积进行积分则可得：
[ \mathbb{V} = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} ,\mathrm{d}{x} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-y^2} ,\mathrm{d}{y} ]
由于(x)和(y)轴的对称性，易得：
[ \mathbb{V} = \left ( \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} ,\mathrm{d}{x} \right )^2 ]
而我们已经知道体积(\mathbb{V} = \pi)，所以：
[ \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} ,\mathrm{d}{x} = \sqrt {\pi} ]

总结

高斯积分是最美积分之一，其结果是出人意料的(\sqrt {\pi})，而(\pi)正是来自旋转对称性。通过之前的文章我们知道满足旋转对称性和各方向互相独立(2)个性质可以推导出正态分布，在(2)维钟形曲线等概率事件是在同一等高线形成的圆上，这就是圆的由来。