一次性说清除法本质，以及它的变形
一次性说清除法本质，以及它的变形
除法是数学中的基本运算之一，但很多人对其本质的理解可能仅停留在“平均分”的层面。本文将深入探讨除法的本质及其各种变形，帮助读者从更深层次理解这一重要数学概念。
一、除法是什么？
很多人的第一反应是：除法就是平均分。不，平均分是除法的变形。本质上除法是连续的减。
我们知道乘法是连续的加。我们会算3+5=8——三个苹果加上五个苹果，一共八个苹果。当我们把苹果放到一个个筐里，每个筐放5个苹果，一共8个筐，现在一共多少个苹果呢？
5+5+5+5+5+5+5+5=40
这是用加法计算。可是这样太麻烦了，难道每次都这样加一遍？我们能不能把这样的计算固定下来，下次直接用？
可以，于是我们有了乘法口诀。
二五一十
三五十五
四五二十
五五二十五
五六三十……
智慧！
如此一来，在处理较多的商品交易时，计算变得容易。两打鸡蛋，四箱水果，五斤猪油，6盒酥饼……
用乘法计算价格，so easy.
乘法在重复加的基础上固定了口诀。除法则是反运算。
现在我的码头新到了一批鱼，共48筐，城里有8个鱼铺，每个鱼铺我该分给他们几筐？
我不知道一个铺子要分几筐，那么我先一个铺子分一筐好了。这么下来，分一圈我要分掉8框鱼。可是我的鱼还没有分完呀，那我就再分一圈了，这一圈又分掉8筐。还没分完，我就继续分，直到分完。
这不就是连续的减吗？
把48筐鱼分完，我一共分了6次，每一次一家鱼铺分一筐，那么他们每一家都分到6筐鱼。现在现在问题解决了，可是当我们回过头来，仔细一想：
八家鱼铺，每家分到了六筐鱼，那不是六八四十八嘛。我们能不能反过来，用48除以8，想一想谁乘以8等于48——我们就不用那么麻烦了。于是，当我们计算48÷8=6的时候，我们用了乘法口诀——
这就是除法，追踪到根儿，就是加法。看下图，连续加或减的演示。
二、变形
1. 平均分
第一个变形就是平均分，上面我们已经讲过例子。连续的减，换了种说法，变成了平均分，使用了乘法。这些在小学生刚学乘法的时候是有反复演示的，只是不方便说那么深，没有点破。但这些东西孩子慢慢都是要知道的，因为很多题目，很多问题的解决，你还是要回到最初，从本质上理解，才是解题王道。也方便你在此之上，嫁接更多东西。
下面我们说一个更复杂的例子。现在我有548元钱，有个8个人，这钱怎么分？
平均分的话，一个人分一元，一次分掉8元。可这是548呀，这样分太慢了。我们可不可以一个人分一个百？不行，这里只有5个百。
那我们可不可以一个人先分一个十？可以，这里有54个十。54个十分给八个人，一个人平均分几个？分七个不够，7×8=56，分六个，6×8=48，余下6个十。也就是说,我们现在给八个人一个人分了六个十，每个人都得到了60元。
还余下68元钱，这68元钱，我们可以再一元一元的分给八个人。每个人分九元，不够8×9=72，每个人分八元，8×8=64，还余下四元。到这里，每个人都得到了6个十，8个一，也就是68元，还剩下四元，要不要分呢？
如果要分的话，我们就要把4元换成更小的单位，比如说四元是40个一角。我们再把40角平均分给八个人，那么每个人得五角。
可以想见，如果还有余数的话，我们要把它换成更小的单位，接着再分。
2. 小数
这就是小数——小数的思想就是这么来的。当一个大的单位不足以衡量的时候，我们就换成更小的单位。比如说：我们去测量一根绳子，它比一米要多出一点，这多出的一点又不够一米，我们就把一米换成更小的单位【分米】，测出来多出来的这一点是三分米，绳子长1米零3分米。一段绳子不是整的分米，它多出来一点，这多出来的一截不够整的一个分米了，我们就把分米再换成更小的单位【毫米】来衡量剩下的这一段绳子。
这也是一个演变（我举的例子都是十进制统治下的单位，也有非十进制的，不常用）
3. 分数
好，话说回来。平均分的应用题都可以用除法解决，平均分再进一步还可以来到分数。分数是什么？ 把一个整体平均分成几份，取其中的某一份或者几份。1/4就是把一个正方形或者一条线段或者一个披萨或者一个圆，平均分成四份取其中的一份。只不过这里分的主体变了，不再是几筐鱼，几百块，而是一个整体。
现在开始抽象——你可以把这一个整体比喻成很多东西。比如说548是一个整体，那么把这个整体分成八份，我们取其中的两份，就是548×2/8=137。理解这一点，好多分数的难题都可以解决了。比如，学校有800名学生，五年级学生是全校总人数的四分之一，五四班的人数是五年级总人数的二十分之三，五三班的人数是五四班的十分之九，求五四班和五三班的人数。学校人数是个整体，五年级人数是个整体，五四班人数是个整体，乘一下就知道答案了嘛。
**乘过之后，800×¼，本质上还是800平均分成4份，取其中一份——这还是除法。**到这里，我们除出来的这些东西还是能够表示成分数的，能表示成分数的数都是有理数。无理数就不符合平均分的概念了，它需要运用几何知识来表示。比如说根号2，就是一个无理数，我们可以用几何在数轴上给它表示出来。还有超越数，它不是任何代数方程的根，它跟平均分扯不上关系。我们的平均分只在有理数范畴内。高中学的根式运算，只是运算，表示一种比的关系，一种除的结果。
4. 分式
这就要说除法的另一个形变，分式。分式不是平均分，解释它要回到最初的除法。有些除是没有确定结果的，我们就把它表示出来，仅此而已。比如a÷b=a/b就可以了。这就是分式，它表示相除的一个结果。这样的分式满足一些除法的运算规则，我们可以用这些规则来运算分式。运算的结果可能是一个比较【顺】的数，也可能不是——无所谓，这些分式就是一个计算的中介，帮我们呈现推理过程。这不属于小学生学习的范畴，但初中和高中会有一个点：分母不能是根式，不能带根号——不然不给分。比如下图，如果分母中有根号，要通过转化，变成没有根号的。根号下的是无理数，除数是无理数这个算式是没有意义的。
无理数不能用分数表示。
而让无理数在分子上，本质上是一个无理数乘以一个有理数——没有用分数表示无理数。你细品一下。是不是有点儿烧脑，没关系，记住它，慢慢琢磨。下面我们说点简单的。
5. 包含除
包含除的经典题型是：我有35元，圆珠笔5元一支，我可以买几支？别看这么简单，二年级孩子初看这个题目是会懵的。因为它不再是分一分了。我们需要回到除法连续减的本质上来。买一支5元，我们从35里减掉5，还有钱我们再买，一直买到我们没有钱。
在这里5元其实是我们一次分出去的数量，而7是我们分的次数。
在这里使用除法的话：
我们需要把被除数理解为总量，把除数理解为平均分后每份的数量，结果就是总量包含的份数。
小孩子其实没有理解这里面的道理，他们只是看到老师的示范，记住而已。如果孩子你想给孩子讲，就告诉他：现在我们一次要分出去5，看我们能分几次，然后画一画数轴——用除法。这样就可以了，因为课本上就是这样呈现的。理解了这点，孩子在处理其他包含除的时候就基本没问题了。比如一根绳子20米，4米一截，能截出来几截？孩子脑子就有个模型了，一次要分出去4米，能分几次？20÷4
在这里我有个提醒：
不重视课本，只做题的孩子，在概念理解上，是有bug的。他们在处理一些有套路的题型时，由于做题多，看起来很迅捷，但是到概念越来越难，题目变形多的时候，劣势救出来了。
回归课本不是一句空话，学数学的第一步还是把课本吃透。
我们的课本如今的编写看起来是更容易了，其实是在让孩子们从本质上理解数学概念。
6. 倍数
爸爸36，儿子6岁，爸爸的岁数是儿子的几倍？这个概念是由包含除延伸过来的。在小学课本里，直接套上包含除的本意，然后告诉孩子：
a里面有几个b，a就是有b的几倍。北师大版本的倍数，直接放到了除法章节内，我认为是非常合理的。这样即便反过来问，3的2倍是多少？孩子们也可以通过脑海里的图像演示，写出算式3×2=6.
更进一步，有时候倍数除出来不是整数。1是2的几倍？这个问题，可以转换成问题：
1里面有几个2？根据课本示范，1÷2=½。1是2的½倍，2×½=1.闭环了。只是，学到这里我们说倍数说的比较少，而说比值。1跟2的比值是½。或者直接来到分数里，套用分数的概念。这都是后话了，改天再讲。
以上举的例子都是个位数的除法。两位数、三位数也一样。只是数大了，原理没有变。比如2880÷40。我们要把2880元分给40个人，一个人我们先分一元，就是一下子分掉40元，那我们连续减40，直到把2880分完。但这样太麻烦了，我们能不能一个人先分一个百？不行，不够，这里一共28个百。我们一个人先分一个十，这里有288个十。于是竖式从十位开始。可以给40个人一人分7个十，剩下8个十。8个十当成80个，分给40个人，一人分2个。到这里分完了。一样的。从反复减太麻烦，到升级成平均分，用乘法口诀参与计算，再到包含除、倍数、比值、小数、分数、分式……
你get到了吗？到这里，关于除法，该说都差不多说完了。篇幅太长了，改天有感，再接着聊。再见。