函数序列的逐点收敛和一致收敛的理解
函数序列的逐点收敛和一致收敛的理解
函数序列的收敛性是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数序列如何趋向于一个极限函数。本文将详细讨论两种主要的收敛方式：逐点收敛和一致收敛，并通过具体例子来帮助读者理解它们的区别。
1. 逐点收敛(Pointwise Convergence)
1.1 逐点收敛定义
我们令 $A$ 为一个非空子集，并假设对于每一个 $x \in A$，我们都有一个函数 $f_n(x)$。则我们称 ${f_n(x)}$ 是 $A$ 上的一个函数序列。
定义：令 ${f_n(x)}$ 为 $A$ 上的一个函数序列。若对于每一个 $x \in A$，序列 ${f_n(x)}$ 收敛于一个数 $f(x)$，即
$$
\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)
$$
则我们称函数序列 ${f_n(x)}$ 在 $A$ 上逐点收敛于函数 $f(x)$。在这种情况下，我们称函数 $f(x)$ 为序列 ${f_n(x)}$ 的逐点极限。
引理(判别法)：令 ${f_n(x)}$ 为 $A$ 上的一个函数序列， $f(x)$ 为一个函数。当且仅当对于每一个 $x \in A$ 和每一个 $\epsilon > 0$，都存在一个 $N \in \mathbb{N}$，使得对于所有的 $n \geq N$，都有
$$
|f_n(x) - f(x)| < \epsilon
$$
则称函数序列 ${f_n(x)}$ 逐点收敛于函数 $f(x)$。
1.2 对逐点收敛的理解
根据定义，“对于每一个 $x \in A$ 和每一个 $\epsilon > 0$”，我们应理解为每次先固定一个 $x$ 和一个 $\epsilon$ (我们不妨设为 $x_0$ 和 $\epsilon_0$)，再去求这个 $N$，这个函数序列在 $n \geq N$ 之后的所有序列项 $f_n(x)$，其 中的所有项与这个固定的 $f(x_0)$ 之间的函数值都在 $\epsilon_0$ 范围内，即
$$
|f_n(x_0) - f(x_0)| < \epsilon_0
$$
当我们取下一个 $x$ 和另一个 $\epsilon$ (我们不妨设为 $x_1$ 和 $\epsilon_1$) 时，前面这个 $N$ 就未必适合了，因此 $N$ 又得变化，因此，所谓的对于每一个 $x \in A$ 和每一个 $\epsilon > 0$，是逐个取值的。也就是说，这个 $N$ 的取值既受 $x$ 的约束，也受 $\epsilon$ 的约束，不同的 $x$ 和 $\epsilon$ 取值，这个 $N$ 是不一样的，不存在某个 $N$ 和每一个 $\epsilon$ > 0 对整个区间上的 $x$ 都成立。
1.3 举例说明
我们设这个函数序列 $f_n(x) = x^n$，其示意图如图 1.3.1 所示。（注：原文中缺少这张图）
我们看到，这个函数序列的逐点收敛极限为 $f(x) = 0$。当我们固定下第一个 $x$ 值和 $\epsilon > 0$ 时，$N= 3$ 就足够大，$n \geq 3$ 之后的每一个 $f_n(x)$ 在这一点的函数值与 $f(x) = 0$ 的距离都小于 $\epsilon$。接下来，我们换一个 $x$ 值，将取值向 $x$ 轴正方向前移一个位置，在这个位置，$N= 3$ 已经不满足要求了，在这个 $x$ 值处，函数值与 $f(x) = 0$ 的距离大于 $\epsilon$，这时候，要取 $N= 4$ 才能满足要求。也就是说， $N$ 的取值既受限于 $x$，与受限于 $\epsilon$，并不存在一个 $N$ 对于取定的 $\epsilon$ 对所有 $x$ 都成立 (一致收敛例外)。从函数序列的图像的直观性上来讲，函数序列图像之间随着 $x$ 的变化其间距变化幅度较大，不一致。
2. 一致收敛(Uniform Convergence)
2.1 一致收敛定义
定义(判别法)：令 ${f_n(x)}$ 为 $A$ 上的一个函数序列， $f(x)$ 为一个函数。若对于 任意 $\epsilon > 0$，都存在一个 $N \in \mathbb{N}$，使得只要 $n \geq N$，则对于所有的 $x \in A$，都有
$$
|f_n(x) - f(x)| < \epsilon
$$
则称函数序列 ${f_n(x)}$ 在 $A$ 上一致收敛于函数 $f(x)$。
2.2 对一致收敛的理解
根据一致收敛的定义，$N$ 的取值仅与 $\epsilon$ 有关，而与 $x$ 无关。当我们取定了一个 $\epsilon$ 之后，就可以找到这么一个 $N$ 值，在这个值之后的所有 $f_n(x)$ 项，对于所有的 $x$ 值，其函数值与极限函数的距离都在 $\epsilon$ 范围内。从直观上来看，这个 $N$ 值之后的所有序列函数，其图像之间的间距变化幅度一致，总是在一定的范围内变化。
2.3 举例说明
我们设这个函数序列 $f_n(x) = x + \frac{1}{n}$，其示意图如图 1.3.2 所示。
----------------------------图 1.3.2：函数序列 $f_n(x) = x + \frac{1}{n}$ 示意图-------------------------------------
我们看到，这个函数序列的一致收敛函数为 $f(x) = x$，根据逐点收敛定义，首先它是逐点收敛的。而根据一致收敛定义，它是一致收敛的。当我们取定了一个 $\epsilon$ 值之后，就能找到这么一个 $N$ 值，$n \geq N$ 之后的所有函数序列对于有的 $x$，它们与其极限函数之间的距离都小于 $\epsilon$。也就是说， $N$ 的取值仅于 $\epsilon$ 有关，与 $x$ 取值。任意取定一个 $x$ 之后，函数序列总是在某一项之后能满足对于所有的 $x$ 取值，其与极限函数的距离都小于这个 $\epsilon$。这些函数序列图像之间的距离在一定范围内变动，不会无限变大，一致。
本文原文来自CSDN