圆面积公式
圆面积公式
圆面积公式
圆面积公式是已知圆的半径时，求圆的面积所使用的公式。圆的面积=圆周率×半径的平方。用字母可以表示为S=πR2，其中π为圆周率，是一个常数，约等于3.141592654；r为所求面积的圆的半径。公式也可改写为S=1/4*πd2，其中d为该圆的直径。
公式形式
对于一个半径为r，直径为的圆d=2r，其面积可以表达为
S = πr²
或者
S = 1/4πd²
通过圆面积公式，我们可以计算已知半径或者直径的圆的面积。除此之外，通过测量圆的面积和半径，可以计算出圆周率的近似值。
发展简史
古埃及时期，古埃及人发现圆面积正比于圆半径的平方，并给出了比例系数
π ≈ 3.1695。
约公元前四世纪，古希腊数学家欧多克斯发现，圆的面积与直径的平方成正比，但是并没有给出比例系数。同时，他也发明了“穷竭法”，即构造内接多边形序列，并使这些多边形的面积收敛于所求图形的面积的方法。
公元前三世纪，阿基米德发展了穷竭法，并证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的直角三角形的面积，同时给出了圆面积公式。不仅如此，阿基米德还使用“穷竭法”算出了算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积等。
公元三世纪，魏晋时期数学家刘徽也提出了正确的圆面积公式“半周半径相乘，得积步”。他还采用“割圆术”，通过切割圆并外接正多边形的方法，求出圆面积的近似值，并以此将圆周率计算到小数点后四位，即3.1416。
公元五世纪，南北朝时期数学家祖冲之在《周髀算经》中使用了刘徽的割圆术，并做了进一步的改进，计算得圆周率的值在3.1415926到3.1415927之间。祖冲之计算圆周率的时间比西方数学家得到相同精度结果的时间早了近一千年。
十六世纪，德国天文学家开普勒提出了用无穷小量理论来计算圆面积的方法，为微积分的产生奠定了基础。
十七世纪末，牛顿和莱布尼兹分别提出了微积分的基本原理，使微积分成为处理函数的一个系统性的工具，圆面积公式可以通过简单的积分运算获得。
公式推导
切割重排法
将圆分割成很多个（偶数个）小扇形，并按照图1的方式进行切割重排。
图1 切割与重排示意图
当切割的份数越多，每个小扇形越接近于一个三角形，形成的图形就越接近于一个长方形。
图2 近似长方形示意图
长方形的长近似于周长的一半，宽近似于半径，而长方形面积=长×宽。又因为周长C=2πr，长方形的长为πr。长方形与原来的圆形面积想等，所以S圆=S长方形。
半圆积分法
上半圆的函数为
y = √(r² - x²)
求出上半圆的面积再乘以二就是圆的面积。
作代换
x = rcosθ
y = rsinθ
令
dx = -rsinθdθ
dy = rcosθdθ
于是
dA = dx dy = -r²sinθcosθdθ
再由上半圆的对称性，有：
A = 2∫(0 to π) r²sinθcosθdθ
极坐标法
令
x = rcosθ
y = rsinθ
将直角坐标系转化为极坐标系进行积分。
相关公式
半圆面积
半圆的面积=二分之一×圆的面积=二分之一×圆周率×半径的平方
圆环面积
环形面积=外圆面积-内圆面积=圆周率×（外圆半径的平方-内圆半径的平方）
扇形面积
扇形半径与半径和圆心角（顶角）有关。若圆心角为n°，
S = (n/360)πr²
：若圆心角采用弧度单位，圆心角为α，
S = (α/2π)πr² = (α/2)r²
。其中l为扇形的弧长，弧长=半径×圆心角弧度，即
l = αr
球面积
球的面积=4×圆周率×半径的二次方
球体积
球的体积=4/3×圆周率×半径的三次方
公式拓展
k维球
圆可以看作二维空间中的“球”，圆周是它的“球面”，现在把维度拓展到k维进行讨论。k维球的球面方程可以写作
x₁² + x₂² + ... + xₖ² = R²
设k维球体的体积和面积为
Vₖ(R) 和 Sₖ(R)
。
首先，找到
Vₖ(R) 和 Sₖ(R)
之间的关系。
对于二维的球（也就是圆），从圆心出发可以分解成一系列底边为无穷短圆弧的三角形（看作二维椎体），三角形面积为
dA = r dr dθ
。二维球体积（圆面积）等于二维椎体体积（三角形面积）之和，则有：
V₂(R) = ∫(0 to R) 2πr dr = πR²
对于三维球，类似地将球分解为无数个小锥体，小椎体体积为
dV = (1/3)πr² dh
。三维球体积等于三维椎体体积之和，则有：
V₃(R) = ∫(0 to R) πr² dh = (4/3)πR³
以此类推，对于k维球体，取一个顶点在球心，底面在k维球面上的小锥体。小锥体的高为R，底面是(k-1)维体，底面积记为Sₖ₋₁(r)。把锥体平行地分解为一系列厚度为dr，底面积为Sₖ₋₁(r)的薄k维板，于是小锥体的体积表示为
dV = Sₖ₋₁(r) dr
并且
Sₖ₋₁(r) ∝ r^(k-1)
。又
Sₖ₋₁(r) ∼ Sₖ₋₁(R)
，线度之比为 h: R , 于是有
Sₖ₋₁(r) = Sₖ₋₁(R) (r/R)^(k-1)
即得
dV = Sₖ₋₁(R) (r/R)^(k-1) dr
把k维球分解为无穷个小(k-1)维锥体，即得
Vₖ(R) = ∫(0 to R) Sₖ₋₁(R) (r/R)^(k-1) dr = Sₖ₋₁(R) ∫(0 to R) (r/R)^(k-1) dr
= Sₖ₋₁(R) [r^k / (kR^k)](0 to R) = Sₖ₋₁(R) R^k / k
之间的关系为：
Vₖ(R) = Sₖ₋₁(R) R / k
然后，找到
Vₖ(R) 和 Sₖ(R)
的递归关系以及
Sₖ(R) 的递归关系
对于三维球，可以将其分割成一系列厚度为
dz，圆半径为
r的薄圆板。因
r² + z² = R²
，所以
r = √(R² - z²)
。薄圆板的周长和面积分别为二维球的面积和体积。对薄板进行积分，得到：
V₃(R) = ∫(-R to R) πr² dz = 2∫(0 to R) π(R² - z²) dz
= 2π [R²z - z³/3](0 to R) = 2π(R³ - R³/3) = (4/3)πR³
类似地，将k维球，将其分割为厚度dz的薄板，并且有：
Vₖ(R) = ∫(-R to R) Vₖ₋₁(√(R² - z²)) dz
k球的面积和体积分别与
R^k 成正比。可以记作：
Vₖ(R) = Cₖ R^k
Sₖ(R) = Dₖ R^(k-1)
代入(2)、(3)式，可得
Cₖ R^k = Dₖ R^(k-1) R / k
即得
Cₖ = Dₖ / k
结合上面两个式子，可以得到
Dₖ = kCₖ
结合(1)式，得到
Vₖ(R) = Sₖ₋₁(R) R / k
取k=2N+1，由(6)得到
C₂N+1 = (2N+1)C₂N
也就是
C₂N+1 = (2N+1)D₂N
同理，可以写得
C₂N = 2NC₂N-1
对与
k=1，一维球是一个线段, 两个端点是它的面, 面积
S₁(R) = 2
。对于
k=2，求面积
S₂(R) = 2πR
。代入公式 (7) 至 (10), 可以得到最终表达式：
Vₖ(R) = π^(k/2) R^k / Γ((k/2) + 1)
Sₖ(R) = kπ^(k/2) R^(k-1) / Γ((k/2) + 1)
特别地，当k=2时
V₂(R) = πR²
，也就是圆面积公式。
研究进展
随着数学的不断发展，数学工具的不断进步，人们并不再通过内接或者外接正多边形进行近似计算圆周率了，而出现了新的方法。
无穷级数法
通过一些快速收敛到π的无穷级数进行计算，比如：
- Ramanujan圆周率公式
- Chudnovsky圆周率公式
蒙特卡洛法
边长为1的正方形内有内切圆，则内切圆面积为
π/4
。在正方形内随机生成N个点，统计落在圆内的点数M。由概率的定义，当N逐渐增大时，
M/N
收敛于
π/4
，所以N很大时，可通过公式
π ≈ 4M/N
近似计算圆周率。
图3 蒙特卡洛法示意图