平面向量定比分点定理 ["鸡爪定理"]

平面向量定比分点定理 ["鸡爪定理"]

在学习了向量的数乘里面，介绍了向量共线定理
而“鸡爪定理”又是向量共线定理的延申，应该也算个二级结论
那么要能运用它就必须对其进行证明以及思考

问题

介绍

已知：(\frac{AD}{DB}=\lambda)
证明：(\vec{CD}=\frac{\vec{CA}+\lambda \vec{CB}}{1+\lambda})

证明

方法1

本题的目的是用(\vec{CA}和\vec{CB}表示\vec{CD})
那么(\vec{CD})可以写成(\vec{CA}+\vec{AD})
现在就将问题转换为了如何用(\vec{CD},\vec{CA},\vec{CB}表示\vec{AD})
又因为(\vec{AD}=\lambda \vec{DB})
所以(\vec{AD}=\frac{\lambda \vec{AB}}{1+\lambda})
而(\vec{AB}=\vec{CB}-\vec{CA})
因此(\vec{AD}=\frac{\lambda (\vec{CB}-\vec{CA})}{1+\lambda})
因此(\vec{CD}=\vec{CA}+\vec{AD}=\vec{CA}+\frac{\lambda(\vec{CB}-\vec{CA})}{1+\lambda}=\frac{\vec{CA}+\lambda\vec{CB}}{1+\lambda})
所以得出
[\vec{CD}=\frac{\vec{CA}+\lambda\vec{CB}}{1+\lambda} ]

方法2

如图(作CD延长线，AE\parallel CB,点E在CD延长线上，设DB=x)

由图可知(\angle{ADE}=\angle{CDB})
(\because CB \parallel AE)
(\therefore \angle{DAE}=\angle{CBA})
(\because \angle{ADE}=\angle{CDB},\angle{DAE}=\angle{CBA},\frac{AD}{DB}=\lambda)
(\therefore \triangle ADE \sim \triangle BDC)
(\therefore \frac{CD}{DE}=\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{CB}=\lambda)
(\because \vec{CE}=\vec{CA}+\vec{AE},\triangle ADE \sim \triangle BDC)
(\therefore \vec{CE}=(1+\lambda)\vec{CD},\vec{AE}=\lambda \vec{CB})
(\therefore (1+\lambda)\vec{CD}=\vec{CA}+\lambda \vec{CB})
(\therefore \vec{CD}=\frac{\vec{CA}+\lambda\vec{CB}}{1+\lambda})

方法三

如图将(\vec{CD}分解为\vec{CE}+\vec{CF}，)点E，F分别在CA，CB上

分析
根据题目可知要证明(\vec{CO}=\frac{\vec{CA}+\lambda \vec{CB}}{1+\lambda})
这里我们将(\vec{CD}分解为了\vec{CE}+\vec{CF})
由共线知识可设(\vec{CE}=a\vec{CA},\vec{CF}=b\vec{CB})
那么问题就转换为了(a=\frac{1}{1+\lambda},b=\frac{\lambda}{1+\lambda})
由上可知AE与CE的比,CF与FB的比等于AD与DB的比
问题也就再次转化为证明(\frac{AE}{CE}=\frac{CF}{FB}=\frac{AD}{DB}=\lambda)
此时不难发现，我们只需要证明三角形(\triangle EAD \sim \triangle FDB)即可
又因为平行以及线相等，可以轻松得到相似，然后一步一步往上推即可证明
证明
(\because CF \parallel ED,CF=ED)
(\therefore CEDF是平行四边形)
(\therefore \angle CED = \angle CFD)
(\therefore \angle AED = \angle DFB)
(\because CB \parallel ED)
(\therefore \angle A= \angle FDB)
(\because \angle A= \angle FDB)
(\therefore \triangle EAD \sim \triangle FDB)
(\because \triangle EAD \sim \triangle FDB)
(\frac{EA}{FD}=\frac{ED}{FB}=\frac{AD}{DB}=\lambda)
(\because CEDF是平行四边形)
(\therefore CE=DF,ED=CF)
(\therefore \frac{EA}{CE}=\frac{CF}{FB}=\frac{AD}{DB}=\lambda)
(\therefore EA=\lambda CE,CF=\lambda FB)
(\therefore \vec{CE}=\frac{1}{1+\lambda}\vec{CA},\vec{CF}=\frac{\lambda}{1+\lambda}\vec{CB})
(\because \vec{CD}=\vec{CE}+\vec{CF})
(\therefore \vec{CD}=\frac{\vec{CA}+\lambda \vec{CB}}{1+\lambda})
以上便是我能想到的三种方法了
这个结论看起来还是比较简单的，但是与题目结合起来便不再简单，主要原因可能是对此定理不熟悉，本身就要消耗一部分脑力去考虑再加上具体题目会设有其他条件，从而出现“头脑不够用”的现象

延申

由上述证明可得
[\vec{CD}=\frac{\vec{CA}+\lambda \vec{CB}}{1+\lambda} ]
由方法三来看，我们将(\vec{CE}=a\vec{CA},\vec{CF}=b\vec{CB}),在证明过程中自然得出(a=\frac{1}{1+\lambda},b=\frac{\lambda}{1+\lambda})
不难发现(a+b=1)
那么式子可以写成
[\vec{CD}=a\vec{CA}+b\vec{CB},a+b=1 ]
也可写成
[\vec{CD}=a\vec{CA}+(1-a)\vec{CB} ]