三角形中位线的性质与证明

三角形中位线的性质与证明

【导读】本文选自《数理化自学丛书6677版》，该系列丛书由“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版。这套丛书层次大致相当于如今的初高中水平，最大特点就是可用于“自学”。虽然这套教材出版时间较早，但其中的基础数学知识，如三角形中位线的性质，至今仍然具有重要的学习价值。

第三章 四边形——平行四边形

§3-9 三角形的中位线的性质

【01】我们从平行线等分线段的性质，可以得出下面的定理。

定理1.如果过三角形一边的中点作直线平行于另一边，那末这条直线平分三角形的第三边。

假设：在 △ABC 中，AN＝BN，并且过 N 作 AC 的平行线 NP 交 BC 于 M（图3·33）。

求证：BM＝MC 。

分析：要证明BM＝MC，只要过 B 作 BS // AC，再应用平行线等分线段的性质即可证得。

证明：
过 B 作 BS // AC 。因为 NP // AC，∴ BS // NP // AC（三线平行定理）。
又 BN＝NA（已知），∴ BM＝MC（平行线等分线段定理）。

【02】连结三角形两边中点的线段，叫做这三角形的中位线。

定理2.三角形的中位线平行其底边，且等于底边的一半。

假设：在 △ABC 中，线段 MN 是三角形的中位线（图3·34）。

求证：MN // BC，MN＝BC/2 。

分析：过点 C 作 CS 平行于 AB，并且交 MN 的延长线于S 。如果能证得 BCSM 是一个平行四边形，那末 MN 就平行于 BC 了。

证明：
题设 MN 是 △ABC 的中位线，所以有 AM＝MB，AN＝NC 。
过点 C 作 CS // AB，与 MN 的延长线相交于 S 。
在 △ANM 和 △CNS 中：∠A＝∠ACS（平行线的内错角相等），
又 ∠ANM＝∠CNS（对顶角），题设 AN＝NC 。
∴ △ANM≌△CNS（a.s.a.）。
∴ CS＝AM＝MB（对应边相等），MN＝NS（对应边相等）。
在四边形 BCSM 中，已知 CS // BM，且 CS＝BM，可知 BCSM 是一个平行四边形。
∴ MN // BC（平行四边形的对边平行）。
又 MS＝BC（平行四边形的对边相等），
但 MN＝MS/2（∵ MN＝NS），
∴ MN＝BC/2（等量代入）。

例1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

假设：在直角三角形 ABC 中，M 是斜边 AB 的中点（图3·35）。

求证：CM＝AB/2 。

分析：题设 M 是 AB 的中点。即 MA＝MB 。如果要证明 MC 等于 AB 的一半，只要证明 MC＝MB 就可以了。

证明：
过 M 作 AC 的平行线 MN 交 CB 于N 。
因为 M 是 AB 的中点，所以 N 也是 CB 的中点。即 NC＝NB（§3-9定理1）。
又因 ∠ACB＝90°，∴ MN ⊥ CB 。
于是 M 是 CB 线段的垂直平分线上的一点，所以 M 与 C，B 等距离，即 MC＝MB 。
但是 MB＝MA＝AB/2，∴ MC＝AB/2 。

注意：本例的结论已经证明是正确的，以后在别的题目的证明中也可引用作为根据。

例2.顺次连结四边形各边的中点的线段，组成一个平行四边形。

假设：在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是各边的中点（图3·36）。

求证：EFGH 是一个平行四边形。

分析：要证明 EFGH 是平行四边形，可以证明它的一组对边 EF 和 HG 平行且相等，连补助线 AC 后，就可利用三角形的中位线性质来证明。

证明：
连对角线 AC 。在 △ACD 和 △ABC 中，G，H 和 E，F 分别是它们各边的中点，由三角形的中位线性质，可得 HG // AC，HG＝AC/2；EF // AC，EF＝AC/2 。
∴ GH // EF，GH＝EF 。
∴ EFGH 是一个平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）。