向量内积（点乘）和外积（叉乘）

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作者:

@小白创作中心

向量内积（点乘）和外积（叉乘）

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/qq_44924694/article/details/144708266

向量的内积（点积）

定义

对于n维向量a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) \mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)a=(a1 ,a2 ,...,an )和b = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) \mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)b=(b1 ,b2 ,...,bn )，其内积定义为：
a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_ia⋅b=i=1∑n ai bi
三维向量特例：
a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ θ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\thetaa⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
（θ \thetaθ为两向量夹角）

几何意义

表征两个向量的投影关系
计算向量夹角的余弦值
判断向量正交性：当内积为0时两向量垂直

表征两个向量的投影关系

如上图，可以通过向量内积计算向量P \mathbf{P}P在Q \mathbf{Q}Q上的投影为：
p r o j Q P = P ⋅ Q ∥ Q ∥ 2 Q \ proj_Q \mathbf{P} = \frac{\mathbf{P} \cdot \mathbf{Q}}{|\mathbf{Q}|^2} \mathbf{Q} \ projQ P=∥Q∥2P⋅Q Q
向量P \mathbf{P}P垂直于Q \mathbf{Q}Q的分量为：
p e r p Q P = P − p r o j Q P = P − P ⋅ Q ∥ Q ∥ 2 Q \ perp_Q \mathbf{P} = \mathbf{P} - proj_Q \mathbf{P} \ = \mathbf{P} - \frac{\mathbf{P} \cdot \mathbf{Q}}{|\mathbf{Q}|^2} \mathbf{Q} \ perpQ P=P−projQ P=P−∥Q∥2P⋅Q Q
其中，向量P \mathbf{P}P在Q \mathbf{Q}Q上的投影可以看作P \mathbf{P}P的线性变换，可以写成矩阵向量积：
p r o j Q P = 1 ∥ Q ∥ 2 [ Q x 2 Q x Q y Q x Q z Q x Q y Q y 2 Q y Q z Q x Q z Q y Q z Q z 2 ] [ P x P y P z ] (2) \ proj_Q \mathbf{P} = \frac{1}{|Q|^2} \begin{bmatrix} Q_x^2 & Q_x Q_y & Q_x Q_z \ Q_x Q_y & Q_y^2 & Q_y Q_z \ Q_x Q_z & Q_y Q_z & Q_z^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P_x \ P_y \ P_z \end{bmatrix} \tag{2} \ projQ P=∥Q∥21 Qx2 Qx Qy Qx Qz Qx Qy Qy2 Qy Qz Qx Qz Qy Qz Qz2 Px Py Pz (2)
计算向量夹角的余弦值
根据向量内积公式：
a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ θ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\thetaa⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
已知a 和 b \mathbf{a} 和 \mathbf{b}a和b可以计算其夹角。另外还可以推导三角形的余弦定理。如下图所示，根据图中的关系可知：c = a − b \mathbf{c=a-b}c=a−b，因此
c 2 = ( a − b ) 2 = a 2 + b 2 − 2 a ⋅ b = a 2 + b 2 − 2 ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ θ \mathbf{c}^2=\mathbf{(a-b)}^2=\mathbf{a}^2+\mathbf{b}^2-2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}^2+\mathbf{b}^2-2|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\thetac2=(a−b)2=a2+b2−2a⋅b=a2+b2−2∣a∣∣b∣cosθ
上述即余弦定理的公式。

重要性质

交换律
a ⋅ b = b ⋅ a \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}a⋅b=b⋅a
分配律
a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
数乘结合律
( k a ) ⋅ b = k ( a ⋅ b ) (k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})(ka)⋅b=k(a⋅b)
正定性
a 2 ≥ 0 \mathbf{a}^2 \geq 0a2≥0
当且仅当a 2 = 0 \mathbf{a}^2 = 0a2=0时，有a = 0 \mathbf{a} = 0a=0。
对称性
a ⋅ b = b ⋅ a \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}a⋅b=b⋅a
线性性
( λ a + μ b ) ⋅ c = λ ( a ⋅ c ) + μ ( b ⋅ c ) (\lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \lambda (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) + \mu (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})(λa+μb)⋅c=λ(a⋅c)+μ(b⋅c)
对任意实数λ , μ \lambda, \muλ,μ均成立。
向量夹角公式
cos ⁡ ∠ ( a , b ) = a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ \cos \angle (\mathbf{a, b}) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{|a||b|}}cos∠(a,b)=∣a∣∣b∣a⋅b
柯西-施瓦茨不等式
∣ a ⋅ b ∣ ≤ ∣ a ∣ ∣ b ∣ |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \mathbf{|a||b|}∣a⋅b∣≤∣a∣∣b∣
当且仅当a \mathbf{a}a与b \mathbf{b}b共线时，等号成立。

应用场景

计算向量夹角：c o s θ = a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}cosθ=∣a∣∣b∣a⋅b
物理中的功计算：W = F ⋅ s W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{s}W=F⋅s
机器学习中的相似度计算

向量的外积（叉积）

定义（仅适用于三维空间）

对于三维向量a = ( a x , a y , a z ) \mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)a=(ax ,ay ,az )和b = ( b x , b y , b z ) \mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)b=(bx ,by ,bz )：
a × b = ∣ i j k a x a y a z b x b y b z ∣ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}a×b= iax bx jay by kaz bz
模长计算公式：
∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ s i n θ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| sin\theta∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ
其方向遵循右手法则：

另外，也可以将向量的表示转化为矩阵的运算：

几何意义

结果向量垂直于原向量所在平面
模长等于两向量构成的平行四边形面积
方向遵循右手法则

重要性质

反交换律：a × b = − b × a \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}a×b=−b×a
与自身叉积为零：a × a = 0 \mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}a×a=0
分配律：a × ( b + c ) = a × b + a × c \mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}a×(b+c)=a×b+a×c

应用场景

计算平面法向量
物理中的力矩计算：M = r × F \mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}M=r×F
计算三角形/平行四边形面积

内积与外积对比

特性内积（点积）外积（叉积）
结果类型标量向量
几何意义投影关系面积与方向
计算公式 ∑

         a
        
       
         i
        
       
       
       
         b
        
       
         i
        
       
      
     
       \sum a_i b_i∑aibi或a 
       
      
        b
       
      
        cos
       
      
        ⁡
       
      
        θ
       
      
     
       ab\cos\thetaabcosθ  a 
       
      
        b
       
      
        sin
       
      
        ⁡
       
      
        θ
       
      
     
       ab\sin\thetaabsinθ且方向垂直

交换律满足不满足（反交换）
零结果条件向量正交向量平行
适用空间任意维度仅限三维空间