力矩的大小、方向及相关说明
力矩的大小、方向及相关说明
力矩是物理学中描述物体转动效应的重要物理量。本文将从力对固定点的力矩和力对固定轴的力矩两个方面，详细阐述力矩的计算方法及其方向的确定。
力对固定点的力矩
力矩的定义
力对点的力矩定义为在参考坐标系中力的作用点的位置矢量叉乘力矢量，用数学公式表示，即：
$$
\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}
$$
下图形象展示了力矩的计算方式：
力矩的方向
力矩的方向即叉乘的方向，可以用右手定则确定：大拇指垂直于四指，四指首先指向位置向量的方向$\vec{r}$，然后以小于$\pi$的角度转向力矢量$\vec{F}$，大拇指的指向即力矩的方向。
力矩的大小
- 计算方法一
既然力矩的计算公式是一个叉乘，那么其大小即$\vec{M}$的模，即有：
- 计算方法二
由力矩的定义：力矩的大小等于力和力臂的乘积，力臂即力的作用线到作用点的距离，如下图所示的$d$：
$$
d=r \cdot sin\theta
$$
所以力矩的大小为
$$
M=F \cdot d=F \cdot r \cdot sin\theta
$$
其实$\vec{M}$的模也可以这样计算。
力对固定轴的力矩
力对某轴的力矩是度量力对该轴转动的效应的物理量，也就是说，力矩的方向会沿着转动轴的方向，所以这里的方向和大小的计算和上面略有不同。
力矩的方向和大小说明
力有一个作用点，该作用点对于转动轴会对应一个平面，转动轴是这个平面的法线。因此，我们可以将力分解到两个方向，如下图所示：
- 分解矢量1$\vec{F}_z$是沿着轴的方向的，它不会产生力矩
- 分解矢量2$\vec{F}'$在转动平面内，它产生力矩，并可以由上述右手定则验证其方向也是沿着转动轴的方向的
对于分解矢量2$\vec{F}'$，就和上面力对点的力矩计算方法一样了，其中点即转动轴和平面的交点$O$。
力矩大小
$$
M = F' \cdot r \cdot sin\theta
$$
力矩方向
$$
\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}'
$$
补充说明
对于三维空间中的转动，可能不只有单独的固定轴，如可能有X-Y-Z三条轴，力对这三条轴的力矩的计算方式和上面所述一样。此外，力的分解方式也不只有上述的形式，可以根据具体需求进行分析。总之，本文描述了最本质的方法。
本文主要参考：3.2 力矩 哔哩哔哩 bilibili