椭圆的周长

椭圆的周长

周长（ C ）和面积（ S ）是平面封闭图形的两个基本属性。椭圆（ Ellipse ）作为平面封闭图形，自然也会存在周长（ C ）和面积（ S ）这两个基本属性。椭圆（ Ellipse ）的面积（ S ）很好计算，由**圆的面积公式（ S = π r ↑ 2 ）以及平面坐标变换规则，很容易导出 S = π a b **，至于它的周长，应该如何计算呢？

事实上，有关椭圆周长的问题，最早由欧拉（ Euler ）提出，经过了勒让德、高斯、阿贝尔和雅可比等人的发展，并且从这类问题的讨论中，还专门引出一门数学分支——椭圆积分与椭圆函数。

那么，椭圆的周长有没有公式呢？答案是：椭圆周长没有精确的初等公式，但有非初等的椭圆积分形式的表达及其级数展开式。

在百度百科“椭圆”一词条中明确指出：椭圆周长的计算公式为C = λ（ a + b ），其中，λ为椭圆周长系数，由 a / b 的数值决定，a 与 b分别为椭圆的半长轴和半短轴。当 a = b 时（即椭圆为正圆时），λ = π 。详细的椭圆系数简表，请大家自行去查看百度百科词条“椭圆”。

或许有些人认为，可以从函数图像的曲线长度公式（详见我本人之前发布过的文章《用微积分的方法求解花瓶的侧面积》）来推导椭圆周长的理论公式。具体过程如下：

但是，如果你将具体的 a 、 b 的数值代入由该过程导出的椭圆周长理论公式，你就会发现， C的数值很难计算。

首先，我们来看一看简单的近似计算方法：

首先是最为简单的椭圆周长近似计算公式：C = 2 π b + 4 （ a – b ），这些公式均符合椭圆的基本规律，当 a = b 时， C = 2 π a 。

在以下公式中：
公式 I 至公式 VII 为一般精度近似公式，满足简单计算需要；
公式 VIII 为高精度近似公式，满足比较专业一些的计算需要。
IX：一个高精度的近似公式，精确度可由使用者自由控制，具体如下：
X：精确度最高的近似公式，具体如下：

那么说到这里，有人会问：

椭圆周长的真正理论公式是什么？

现在，让我来为你解答，具体见下：

推导过程如下：

事实上，关于椭圆周长的理论公式，清代数学家项名达（ 1791 ～ 1850 ）也有所发现。该公式被称作“项名达公式”，为一条无限级数展开式，具体如下：

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