等比数列的求和公式

等比数列的求和公式

引用

新浪网

1.

https://m.edu.iask.sina.com.cn/jy/2X3MAtz3j3B.html

等比数列是数学学习中要掌握的重点内容，它是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

等比数列的求和公式

等比数列的求和公式是：
$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \quad (r \neq 1)$$
其中，$S_n$表示前n项和，$a$表示首项，$r$表示公比，$n$表示项数。

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公式可以快速地计算出该数列的和。

等比数列的性质及其应用

等比数列有很多有用的性质，以下是一些基本性质及其应用：

1. 公比：如果$a, ar, ar^2, \ldots, ar^{(n-1)}$是等比数列，那么公比$r$是常数，且$r^n = \frac{ar^{(n-1)}}{ar^n}$。因此，我们可以通过已知的相邻项关系来确定公比。

   应用：已知$a_n$和$a_{n+1}$，我们可以求出公比$r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$。

2. 和/差公式：设$a, ar, ar^2, \ldots, ar^{(n-1)}$是等比数列，那么它们的和$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$。同样，这些项的差$D_n = \frac{ar^{(n-1)}}{1-r}$。

   应用：在等比数列中，我们常用和/差公式来简化求和和求差运算。

3. 通项公式：如果$a, ar, ar^2, \ldots, ar^{(n-1)}$是等比数列，那么其通项公式为$a_n = ar^{(n-1)}$。

   应用：通项公式可以帮助我们找到等比数列中任意一项的值。

4. 求和公式：如果$a, ar, ar^2, \ldots, ar^{(n-1)}$是等比数列，那么它们的和$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$。

   应用：求和公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和。

5. 等比中项：如果一个数列${a, ar, ar^2, \ldots, ar^{(n-1)}}$是等比数列，那么它的等比中项是$ar^{(n/2)}$（如果n是奇数）或$\frac{ar^{((n/2)-1)} + ar^{((n/2)+1)}}{2}$（如果n是偶数）。

   应用：等比中项可以帮助我们求取等比数列的“中心”值。

6. 无穷等比数列的和：如果一个等比数列的公比绝对值小于1，那么它的无穷项和$S = \frac{a}{1-r}$。

   应用：这个公式可以帮助我们计算无穷等比数列的和。

等比数列的等比中项怎么算

因为等比数列用通式：$U_n = ar^{(n-1)}$

$a, ar, ar^2, ar^3, \ldots$一直到$ar^{(n-2)}, ar^{(n-1)}$

那么，观察到，第一项乘以最后一项=第二项乘以倒数第二项=第三项乘以倒数第三项，以此类推

$$\therefore \text{中项} \times \text{中项} = \text{中项的平方} = \text{第一项} \times \text{最后一项}$$

$$\therefore \text{中项}^2 = a \cdot ar^{(n-1)} = a^2r^{(n-1)}$$

$$\therefore \text{中项} = ar^{[(n-1)/2]}$$

等比数列的性质在日常生活和工作中有很多应用，比如计算利息、复利、数列求和、金融模型等等。