四元数的可视化：从二维到四维的旋转表示
四元数的可视化：从二维到四维的旋转表示
四元数是表示三维空间旋转的一种数学工具，它能够避免传统欧拉角表示法中的万向锁问题。本文通过直观的可视化方法，从二维、三维逐步推广到四维空间，解释了四元数为什么能无歧义地表示三维旋转。
前言
观看3Blue1Brown的四元数可视化视频，分享我对四元数为什么能无奇异表示三维旋转的一些理解。
What are quaternions, and how do you visualize them? A story of four dimensions.
一、四元数为什么能无歧义的表示三维旋转？
1、二维
1、步骤
a. 在原点画一个单位圆
b. 在（-1，0）这个点，把它和单位圆上的任意一点连线，得到每条直线和虚轴的交点（假设（-1，0）这个点被连接到无穷远的地方）
2、发现
a. 单位圆上的任意一点都在虚轴上有唯一确定的点相对应
b. 虚轴右边的单位元部分被映射到了单位圆内的直线上，左半部分则被映射到了圆外的直线上
3、旋转
对点的旋转成了直线上的变形作用，例如：
i ⋅ 1 = i
旋转前：
旋转中：
旋转后：
可以理解为把（1，0）这个点移动到（0，i）这个点，也就是逆时针旋转90°，通过观看图片右边的数轴，能直观的感受到单位圆和坐标轴的四个交点的变化i 4 = 1
也就是旋转360°后回到了原来的位置
2、三维
1、步骤
a. 在三维空间原点处画一个单位球体
b. 连接（0，0，-1）和单位球体上的任意一点，标记和xoy平面的交点
2、发现
a. 单位球体上的任意一点都在xoy平面上有唯一确定的点相对应
b. 球体上半部分被映射到了xoy平面的单位圆内，而球体的下半部分则被映射到了整个二维平面上（假设（0，0，-1）则被映射到了无穷远处）
3、旋转
绕j轴旋转90°
旋转前：
旋转后：
观察右上角的图片，红色的圆从直线变成了圆，黄色的圆则变成了直线，不管它们如何旋转，xoy平面都有唯一确定的一个点和单位球体上的点对应，也就是四元数是没有奇异性的
3、四维
映射：
由上面1、2两点的推广，我们不难想象，在三维空间中，有一部分会被映射到单位球体的内部，而另一部分则被映射到了整个三维平面
由于思维空间超出了我们的想象范围，视频中对四维是通过二三维总结出来的，如下：
通过二三维的映射，我们不难发现，单位圆上面的每个点都能映射到直线上，单位球体上的每一个点都能映射到平面上，并且一一对应，没有奇异性
单位圆映射到直线，从二维变成了一维，单位球体映射到了平面，从三维映射到了二维，由此推广一下，不难得出四元数可以表示三维的旋转
总结
观看了视频的最大感受就是，一一对应没有奇异性，还有就是n+1维的空间能映射到n维的东西上