从向量到傅里叶变换
从向量到傅里叶变换
傅里叶变换是信号处理和数学分析中的重要工具。从向量空间的角度理解傅里叶变换，可以提供更直观的视角。本文将从向量空间的基本概念出发，逐步推导出傅里叶级数的三角函数形式和复指数形式。
从向量空间到函数空间
什么是空间？
在学习线性代数时，我们对向量空间有了基本认识：向量空间是一系列向量的集合，这些向量在缩放和相加等运算后仍然属于这个集合。更抽象地说，空间是由集合与需要遵循的规则组合而成的。对于向量空间来说，空间内的所有向量构成了一个集合，而这些向量在运算时需要遵循缩放和相加后仍属于这个集合的规则。具体来说，向量空间需要满足以下运算规则：
∀ α , β ∈ V , α + β ∈ V \forall\alpha,\beta\in V,\alpha+\beta\in V∀α,β∈V,α+β∈V
∀ α ∈ V , k ∈ R , k ⋅ α ∈ V \forall\alpha\in V,k\in\mathbb{R},k\cdot\alpha\in V∀α∈V,k∈R,k⋅α∈V
什么是函数空间？
将向量空间的概念推广到函数，可以想象一个具有无限维的向量，其中每个函数值对应向量的一个坐标。虽然这种理解方式可能不够严谨，但它有助于建立函数空间的直观认识。函数空间是泛函分析中的概念，研究的是由函数构成的空间。我们的目标是像处理向量空间那样，用基函数的线性组合来表示任意函数，从而将复杂函数分解为简单函数的叠加。
Hilbert空间
为了在函数空间中进行有效的分析，我们需要定义一系列运算和规则，赋予空间线性结构。Hilbert空间是一个完备的内积空间，它提供了必要的数学工具。最基本的要求是线性，即支持函数的加法与乘法运算。在线性基础上，我们引入范数：
在向量空间中，向量内积操作能提供：
∣ ∣ u ∣ ∣ 2 = u ⋅ u ||u||^2=u\cdot u∣∣u∣∣2=u⋅u
定义函数模长（L2范数）为：
∣ ∣ f ∣ ∣ 2 = ∫ a b f 2 ( t ) d t ||f||^2=\int_a^bf^2(t)dt∣∣f∣∣2=∫ab f2(t)dt
范数定义了距离和模长，定义了范数的空间被称为赋范空间。
在希尔伯特空间下，连续函数的内积定义为：
< f , g > = ∫ a b f ( t ) g ( t ) d t <f,g>=\int_{a}^{b}f(t)g(t)dt<f,g>=∫ab f(t)g(t)dt
三角函数形式傅里叶级数推导
三角函数正交性
在向量空间中，正交基的概念非常重要，例如三维直角坐标系下的三个坐标轴向量就是一组正交基。对于函数空间来说，当两个函数的内积等于零时，我们认为它们正交：
< f , g > = ∫ a b f ( t ) g ( t ) d t = 0 <f,g>=\int_{a}^{b}f(t)g(t)dt=0<f,g>=∫ab f(t)g(t)dt=0
根据三角函数的性质，可以验证三角函数族相互正交：
{ 1 , cos t , cos 2 t , ⋯ , cos n t , sin t , sin 2 t , ⋯ , sin n t } {1,\cos t,\cos2t,\cdots,\cos nt,\sin t,\sin2t,\cdots,\sin nt}{1,cost,cos2t,⋯,cosnt,sint,sin2t,⋯,sinnt}
函数投影与傅里叶级数三角级数表示
在向量空间中，任意向量u在v上的投影模长可以表示为：
u ⋅ v ∣ v ∣ \frac{u \cdot v}{|v|}∣v∣u⋅v
类似地，在函数空间中，函数f到g上的投影可以表示为：
< f , g > ∣ ∣ g ∣ ∣ = ∫ a b f ( t ) g ( t ) d t ∫ a b g ( t ) 2 d t \frac{<f,g>}{||g||}=\frac{\int_{a}^{b}f(t)g(t)dt}{\int_{a}^{b}g(t)^2dt}∣∣g∣∣<f,g> =∫ab g(t)2dt∫ab f(t)g(t)dt
对于周期函数，我们可以计算其在cos(nt)和sin(nt)上的投影长度：
a k = ∫ 0 2 π f ( t ) cos ( k t ) d t ∫ 0 2 π cos 2 ( k t ) d t a_k=\frac{\int_{0}^{2\pi}f(t)\cos(kt)dt}{\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}(kt)dt}ak =∫02π cos2(kt)dt∫02π f(t)cos(kt)dt
b k = ∫ 0 2 π f ( t ) sin ( k t ) d t ∫ 0 2 π sin 2 ( k t ) d t b_k=\frac{\int_{0}^{2\pi}f(t)\sin(kt)dt}{\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}(kt)dt}bk =∫02π sin2(kt)dt∫02π f(t)sin(kt)dt
由于：
∫ 0 2 π sin 2 ( k t ) d t = ∫ 0 2 π cos 2 ( k t ) d t = π \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}(kt)dt=\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}(kt)dt=\pi∫02π sin2(kt)dt=∫02π cos2(kt)dt=π
直流分量为：
a 0 = ∫ 0 2 π f ( t ) d t 2 π a_0=\frac{\int_{0}^{2\pi}f(t)dt}{2\pi}a0 =2π∫02π f(t)dt
因此，傅里叶级数的表达式为：
f ( t ) = a 0 2 + ∑ k = 1 ∞ ( a k cos k t + b k sin k t ) f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k\cos kt+b_k\sin kt\right)f(t)=2a0 +k=1∑∞ (ak coskt+bk sinkt)
傅里叶级数复指数形式推导
在复数域下的向量点积定义为：
⟨ x , y ⟩ = ∑ i = 1 n x i ∗ y i \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=\sum_{i=1}^nx_i^*y_i⟨x,y⟩=i=1∑n xi∗ yi
类似的，复数函数点积公式为：
⟨ f , g ⟩ = ∫ T f ( x ) g ( x ) ‾ d x \langle f,g\rangle=\int_{T}f(x)\overline{g(x)}dx⟨f,g⟩=∫T f(x)g(x) dx
取复指数函数族e j k ω 0 t e^{jk\omega_0t}ejkω0 t作为基底，其中ω 0 \omega_0ω0 为基波频率。根据上述公式，有：
a k = ∫ T f ( t ) e j k ω 0 t ‾ d t ∫ T e j k ω 0 t e j k ω 0 t ‾ d t a_k=\frac{\int_{T}f(t)\overline {e^{jk\omega_0t}}dt}{\int_{T}{e^{jk\omega_0t}\overline {e^{jk\omega_0t}}dt}}ak =∫T ejkω0 tejkω0 tdt∫T f(t)ejkω0 tdt
由于：
∫ T e j k ω 0 t e j k ω 0 t ‾ d t = ∫ T e j k ω 0 t e − j k ω 0 t d t = ∫ T d t = T \int_{T}{e^{jk\omega_0t}\overline {e^{jk\omega_0t}}dt}=\int_{T}{e^{jk\omega_0t}e^{-jk\omega_0t}dt}=\int_{T}{dt}=T∫T ejkω0 tejkω0 tdt=∫T ejkω0 te−jkω0 tdt=∫T dt=T
因此：
a k = 1 T ∫ T f ( t ) e − j k ω 0 t d t a_k=\frac{1}{T}\int_{T}{f(t)e^{-jk\omega_0t}dt}ak =T1 ∫T f(t)e−jkω0 tdt
最终得到傅里叶级数的复指数形式：
x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ω 0 t x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}\mathrm{e}^{\mathrm{j}k\omega_{0}t}x(t)=k=−∞∑+∞ ak ejkω0 t
参考文献
[1] Oppenheim, Alan V. (1998). Signals and Systems. Pearson Education.
[2] 此方家的空腹 (2023, May 11). 从函数空间的角度重新理解傅里叶变换. https://blog.51cto.com/u_15426866/6263844