幂等矩阵的特征值

幂等矩阵的特征值

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1.

https://m.edu.iask.sina.com.cn/jy/2STBpM1qfTF.html

精选回答
0或者1。幂等矩阵的特征值只可能是0，1。若A为方阵，且A²=A，则A称为幂等矩阵。例如，某行全为1而其他行全为0的方阵是幂等矩阵。实际上，由Jordan标准型易知，所有幂等矩阵都相似于对角元全为0或1的对角阵。

幂等矩阵的主要性质：

1. 幂等矩阵的特征值只可能是0，1；
2. 幂等矩阵可对角化；
3. 幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)；
4. 可逆的幂等矩阵为E；
5. 方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；
6. 幂等矩阵A满足：A(E-A)=(E-A)A=0；
7. 幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)；
8. A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。

考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：

设A？A？都是幂等矩阵，则(A？+A？)为幂等矩阵的充分必要条件为：A？·A？=A？·A？=0，且有：R(A？+A？)=R(A？)⊕R(A？)；N(A？+A？)=N(A？)∩N(A？)；

设A？A？都是幂等矩阵，则(A？-A？)为幂等矩阵的充分必要条件为：A？·A？=A？·A？=A？且有：R(A？-A？)=R(A？)∩N(A？)；N(A？-A？)=N(A？)⊕R(A？)；

设A？A？都是幂等矩阵，若A？·A？=A？·A？则A？·A？为幂等矩阵，且有：R(A？·A？)=R(A？)∩R(A？)；N(A？·A？)=N(A？)+N(A？)。